Encontre o limite
Passo 1
Enunciado: calcular
.
Informações dadas e observações imediatas:
- A função trigonométrica
satisfaz sempre para todo . - O numerador
é, portanto, um valor que fica entre e para todo . - A variável
tende para (valores grandes e positivos), logo podemos dividir desigualdades por sem trocar o sinal da desigualdade (porque para suficientemente grande).
Passo 2
Usando a propriedade básica da função cosseno, escrevemos a desigualdade
Agora multiplicamos toda a desigualdade por
(multiplicação por número positivo preserva as desigualdades), obtendo
Passo 3
Como estamos interessad@s em
, podemos considerar
(para
suficientemente grande). Dividindo a desigualdade anterior por
(preservando as desigualdades), obtemos
Passo 4
Calculemos as duas “funções externas” que aparecem nas bordas do intervalo quando
:
Explicação simples:
é uma constante dividido por um número que cresce sem limite; portanto a fração tende a
. O mesmo vale para
.
Passo 5
Enunciado do Teorema do Confronto (Squeeze Theorem) em palavras simples: se para todo
numa vizinhança da região de interesse temos
e se
, então
.
No nosso caso tomamos
e vimos que
. Pelo Teorema do Confronto segue que
Passo 6
Comentário intuitivo e exemplo: embora
oscile muito quando
cresce (vai variando entre
e
muito rápido), o fator
faz com que essas oscilações sejam cada vez mais “amortecidas” — o numerador fica sempre entre
e
, e dividir por um
grande empurra o quociente para
. Isso é exatamente a mesma ideia que justifica
.