Encontre o limite
\lim _{x \rightarrow \infty} \frac{8 \cos \left(4 x^{9}\right)}{x}

Passo 1

Enunciado: calcular \displaystyle \lim_{x\to\infty}\frac{8\cos\bigl(4x^{9}\bigr)}{x}.
Informações dadas e observações imediatas:
  • A função trigonométrica \cos satisfaz sempre -1\le \cos(t)\le 1 para todo t.
  • O numerador \,8\cos\bigl(4x^{9}\bigr)\, é, portanto, um valor que fica entre -8 e 8 para todo x.
  • A variável x tende para +\infty (valores grandes e positivos), logo podemos dividir desigualdades por x sem trocar o sinal da desigualdade (porque x>0 para x suficientemente grande).

Passo 2

Usando a propriedade básica da função cosseno, escrevemos a desigualdade
-1 \le \cos\bigl(4x^{9}\bigr) \le 1.
Agora multiplicamos toda a desigualdade por 8 (multiplicação por número positivo preserva as desigualdades), obtendo
-8 \le 8\cos\bigl(4x^{9}\bigr) \le 8.

Passo 3

Como estamos interessad@s em x\to\infty, podemos considerar x>0 (para x suficientemente grande). Dividindo a desigualdade anterior por x>0 (preservando as desigualdades), obtemos
-\frac{8}{x} \le \frac{8\cos\bigl(4x^{9}\bigr)}{x} \le \frac{8}{x}.

Passo 4

Calculemos as duas “funções externas” que aparecem nas bordas do intervalo quando x\to\infty:
\lim_{x\to\infty}\left(-\frac{8}{x}\right)=0 \qquad\text{e}\qquad \lim_{x\to\infty}\frac{8}{x}=0.
Explicação simples: \frac{8}{x} é uma constante dividido por um número que cresce sem limite; portanto a fração tende a 0. O mesmo vale para -8/x.

Passo 5

Enunciado do Teorema do Confronto (Squeeze Theorem) em palavras simples: se para todo x numa vizinhança da região de interesse temos
f(x)\le g(x)\le h(x)
e se \lim_{x\to a}f(x)=\lim_{x\to a}h(x)=L, então \lim_{x\to a}g(x)=L.
No nosso caso tomamos
f(x)=-\frac{8}{x},\quad g(x)=\frac{8\cos\bigl(4x^{9}\bigr)}{x},\quad h(x)=\frac{8}{x},
e vimos que \lim_{x\to\infty}f(x)=\lim_{x\to\infty}h(x)=0. Pelo Teorema do Confronto segue que
\lim_{x\to\infty}\frac{8\cos\bigl(4x^{9}\bigr)}{x}=0.

Passo 6

Comentário intuitivo e exemplo: embora \cos\bigl(4x^{9}\bigr) oscile muito quando x cresce (vai variando entre -1 e 1 muito rápido), o fator \frac{1}{x} faz com que essas oscilações sejam cada vez mais “amortecidas” — o numerador fica sempre entre -8 e 8, e dividir por um x grande empurra o quociente para 0. Isso é exatamente a mesma ideia que justifica \lim_{x\to\infty}\frac{\sin x}{x}=0.

Resposta

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