Explique porque a função é descontínua no número dado (2.5)

Passo 1

O enunciado pede que eu explique por que uma função é descontínua no número 2,5.
Informações fornecidas pelo enunciado: apenas o ponto 2,5. Não foi dada a expressão da função nem um gráfico nem uma tabela de valores.

Passo 2

Com a informação que tenho (apenas o ponto 2,5) não há como provar ou explicar de forma específica por que alguma função é descontínua nesse ponto: para demonstrar descontinuidade precisamos conhecer a própria função ou seu comportamento próximo a 2,5. Portanto, não posso calcular limites nem comparar com o valor da função em 2,5 sem que você me informe a função.
Vou, no entanto, ensinar passo a passo tudo o que você deve fazer na prova para analisar se uma função é descontínua em 2,5, com exemplos concretos — assim, na hora você sabe exatamente o que fazer.

Passo 3

Definição prática de continuidade em um ponto (o que você precisa checar na prova):
Uma função f é contínua em a se, e somente se,
\lim_{x\to a} f(x)\\ \text{existe e}\\ \lim_{x\to a} f(x)=f(a).
Explicando as peças dessa definição:
  • f(a) é o valor da função exatamente em a. Pode ser que f(a) nem exista (a função não esteja definida em a).
  • \lim_{x\to a} f(x) é o valor para o qual f(x) se aproxima quando x se aproxima de a (independente de vir pela esquerda ou pela direita).
  • Para que a função seja contínua em a é preciso que o limite exista (ou seja, limites laterais iguais) e que esse limite seja igual a f(a).

Passo 4

Como provar que uma função é descontínua em 2,5 — procedimento direto (checklist que você deve seguir na prova):
  1. Verifique se f(2,5) está definido. Se não estiver definido, a função é descontínua em 2,5 (a menos que a questão admita continuidade estendida, mas normalmente isso conta como descontinuidade no ponto).
  2. Calcule o limite à esquerda \displaystyle\lim_{x\to 2,5^-} f(x) e o limite à direita \displaystyle\lim_{x\to 2,5^+} f(x).
  3. Se os dois limites laterais forem diferentes, então \displaystyle\lim_{x\to 2,5} f(x) não existe e a função é descontínua (discontinuidade do tipo salto).
  4. Se os limites laterais existirem e forem iguais (digamos igual a L), compare com f(2,5):
    • Se f(2,5) existe e f(2,5)\neq L, então há descontinuidade removível (há um “buraco” que poderia ser preenchido).
    • Se f(2,5)=L, então a função é contínua em 2,5.
  5. Se algum dos limites laterais for \pm\infty, então há descontinuidade essencial do tipo infinita.
  6. Em casos de oscilações (por exemplo, algo como \sin(1/(x-2,5))), o limite pode não existir por oscilar sem se aproximar de um único valor — também é descontinuidade.

Passo 5

Tipos comuns de descontinuidade (com exemplos que você pode usar como modelo e que usam o ponto 2,5\)): - Descontinuidade removível (buraco): defina \[f(x)=\begin{cases} \dfrac{x-2,5}{x-2,5}, & x\neq 2,5,\\[6pt] 0, & x=2,5. \end{cases}
Aqui, para x\neq 2,5\] temos \[f(x)=1, então \displaystyle\lim_{x\to 2,5} f(x)=1. Mas f(2,5)=0. Como limite existe e é diferente de f(2,5), a função é descontínua em 2,5 — é removível porque bastaria definir f(2,5)=1 para remover a descontinuidade.
  • Descontinuidade de salto (jump): defina f(x)=\begin{cases} 0, & x<2,5,\\[2pt] 1, & x\ge 2,5. \end{cases}Aqui \displaystyle\lim_{x\to 2,5^-} f(x)=0\] e \[\displaystyle\lim_{x\to 2,5^+} f(x)=1. Como limites laterais diferentes, não existe \lim_{x\to 2,5} f(x) e a função é descontínua.
  • Descontinuidade infinita: exemplo f(x)=\frac{1}{x-2,5}.Ao aproximar x de 2,5 por valores menores o valor vai para -\infty, por valores maiores vai para +\infty. Os limites laterais são \pm\infty, logo há descontinuidade infinita.
  • Descontinuidade oscilatória: exemplo f(x)=\begin{cases} \sin\!\big(\dfrac{1}{x-2,5}\big), & x\neq 2,5,\\[4pt] 0, & x=2,5. \end{cases}Aqui, ao aproximar x\to 2,5\] a expressão \(\sin\!\big(\tfrac{1}{x-2,5}\big) oscila sem convergir, então o limite não existe — descontinuidade por oscilações.]

Passo 6

Exemplo detalhado (passo a passo) — vou mostrar como você faria numa prova para o caso do salto (é um exemplo simples e muito comum):
Considere a função do exemplo de salto
f(x)=\begin{cases} 0, & x<2,5,\\[2pt] 1, & x\ge 2,5. \end{cases}
  1. Calcule \displaystyle\lim_{x\to 2,5^-} f(x). Como para x<2,5 a função vale sempre 0, qualquer sequência x_n\to 2,5 com x_n<2,5 tem f(x_n)=0. Logo \lim_{x\to 2,5^-} f(x)=0.
  2. Calcule \displaystyle\lim_{x\to 2,5^+} f(x). Para x>2,5 a função vale sempre 1, então \lim_{x\to 2,5^+} f(x)=1.
  3. Como 0\neq 1, os limites laterais não coincidem, portanto \displaystyle\lim_{x\to 2,5} f(x) não existe. Conclusão: a função é descontínua em 2,5.
    Você faria raciocínios análogos para os outros tipos: calcular limites laterais ou o limite total e comparar com f(2,5).]

Passo 7

Resumo rápido (o que escrever na prova, em ordem):
  1. Escreva a função explicitamente. Se não estiver definida em 2,5, escreva isso.
  2. Calcule \displaystyle\lim_{x\to 2,5^-} f(x) e \displaystyle\lim_{x\to 2,5^+} f(x).
  3. Se forem diferentes, diga “limites laterais diferentes ⇒ limite não existe ⇒ descontinuidade (salto)”.
  4. Se forem iguais a L, compare com f(2,5): se f(2,5) não existe ou for diferente de L, conclua “descontinuidade removível” (explique que preenchendo fica contínua); se f(2,5)=L, conclua que é contínua.
  5. Se algum limite lateral for \pm\infty, diga “descontinuidade infinita”.

Passo 8

Se você me mandar a expressão da função (ou o gráfico/tabela) eu aplico exatamente esse checklist passo a passo para explicar de forma concreta por que a função é descontínua em 2,5. Fornece a função que eu faço a resolução completa e bem detalhada — prometo explicar cada conta como se estivéssemos estudando juntos e te deixar confiante para a prova!

Resposta

Não é possível determinar por que a função é descontínua em 2,5 porque a expressão (ou o gráfico/tabela) da função não foi fornecida.

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