Encontre o limite
Passo 1
O enunciado pede calcular
Informações dadas e observações iniciais:
- Há uma raiz quadrada
, portanto essa parte só está definida para , isto é, para . - A notação
será interpretada aqui como a parte inteira inferior (função piso) de : para qualquer , (o maior inteiro ). - A pergunta é: qual o valor do limite quando
tende a da forma permitida pelo domínio da expressão?
Passo 2
Entendendo o domínio e o tipo de limite que precisamos calcular. Como a parte
exige
, a função só está definida em um intervalo que começa em
(por exemplo
). Portanto não faz sentido aproximar
de
por valores menores que
(esses
não estão no domínio). Nesses casos, o limite
é o mesmo que o limite pela direita
— ou seja, só precisamos verificar o comportamento quando
se aproxima de
por valores maiores ou iguais a
.
Passo 3
Analisando a parte inteira
perto de
.
- Se
está em , então está em . - Para qualquer
temos . - Logo, para todo
suficientemente próximo de pela direita (isto é, ), vale
Também, no próprio ponto
temos
e
.
Passo 4
Analisando
quando
.
- Faça a mudança
com . Então . - Quando
temos . Exemplos numéricos: se então ; se então ; claramente tende a . - Portanto
Passo 5
Aplicando a propriedade de soma de limites. Se
e
(com limites finitos), então
No nosso caso, dentro do domínio (aproximação pela direita) já vimos que
e que, para
próximos de
,
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