Encontre o limite
\lim _{x \rightarrow 9}(\sqrt{x-9}+\llbracket x+1 \rrbracket)

Passo 1

O enunciado pede calcular
\lim_{x\to 9}\big(\sqrt{x-9}+\llbracket x+1\rrbracket\big).
Informações dadas e observações iniciais:
  • Há uma raiz quadrada \sqrt{x-9}, portanto essa parte só está definida para x-9\ge 0, isto é, para x\ge 9.
  • A notação \llbracket y\rrbracket será interpretada aqui como a parte inteira inferior (função piso) de y: para qualquer y, \llbracket y\rrbracket=\lfloor y\rfloor (o maior inteiro \le y).
  • A pergunta é: qual o valor do limite quando x tende a 9 da forma permitida pelo domínio da expressão?

Passo 2

Entendendo o domínio e o tipo de limite que precisamos calcular. Como a parte \sqrt{x-9} exige x\ge 9, a função só está definida em um intervalo que começa em 9 (por exemplo [9,\infty)). Portanto não faz sentido aproximar x de 9 por valores menores que 9 (esses x não estão no domínio). Nesses casos, o limite \lim_{x\to 9}f(x) é o mesmo que o limite pela direita \lim_{x\to 9^{+}}f(x) — ou seja, só precisamos verificar o comportamento quando x se aproxima de 9 por valores maiores ou iguais a 9.

Passo 3

Analisando a parte inteira \llbracket x+1\rrbracket perto de x=9.
  • Se x está em [9,10), então x+1 está em [10,11).
  • Para qualquer y\in[10,11) temos \lfloor y\rfloor=10.
  • Logo, para todo x suficientemente próximo de 9 pela direita (isto é, 9\le x<10), vale
\llbracket x+1\rrbracket = 10.
Também, no próprio ponto x=9 temos x+1=10 e \llbracket 10\rrbracket=10.

Passo 4

Analisando \sqrt{x-9} quando x\to 9^{+}.
  • Faça a mudança x=9+h com h\ge 0. Então \sqrt{x-9}=\sqrt{h}.
  • Quando h\to 0^{+} temos \sqrt{h}\to 0. Exemplos numéricos: se h=0{,}01 então \sqrt{h}=0{,}1; se h=0{,}0001 então \sqrt{h}=0{,}01; claramente tende a 0.
  • Portanto
\lim_{x\to 9^{+}}\sqrt{x-9}=0.

Passo 5

Aplicando a propriedade de soma de limites. Se \lim_{x\to a}u(x)=L_1 e \lim_{x\to a}v(x)=L_2 (com limites finitos), então
\lim_{x\to a}\big(u(x)+v(x)\big)=L_1+L_2.
No nosso caso, dentro do domínio (aproximação pela direita) já vimos que
\lim_{x\to 9^{+}}\sqrt{x-9}=0
e que, para x próximos de 9,
\llbracket x+1\rrbracket=10,
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\lim_{x\to 9^{+}}\llbracket x+1\rrbracket=10.

Resposta

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