Estude a convergência da série abaixo.
Passo 1
O enunciado pede para estudar a convergência da série
. O conteúdo envolve testes de convergência de séries, em particular o teste de Leibniz para séries alternadas e o teste de convergência absoluta.
Passo 2
Definimos
. Primeiro, verificamos o limite de
:
pois o log cresce mais devagar que a função linear.
Passo 3
Para aplicar o teste de Leibniz, precisamos que
seja eventualmente decrescente. Considere a função
. Sua derivada é
que é negativa para
. Logo,
é decrescente para
.
Passo 4
Pelo teste de Leibniz, como
e
é decrescente a partir de
, a série alternada
converge.
Passo 5
Agora checamos a convergência absoluta, isto é, da série
. Aplicando o teste da integral:
Portanto,
diverge, e a série não converge absolutamente.
Resposta
A série converge condicionalmente.