Estude a convergência da série abaixo.
sumn=1^infty(-1)^n-1 ln (n)n

Passo 1

O enunciado pede para estudar a convergência da série sumn=1^infty(-1)^n-1ln(n)n. O conteúdo envolve testes de convergência de séries, em particular o teste de Leibniz para séries alternadas e o teste de convergência absoluta.

Passo 2

Definimos an=ln(n)n. Primeiro, verificamos o limite de an:
limntoinftyln(n)n=0,
pois o log cresce mais devagar que a função linear.

Passo 3

Para aplicar o teste de Leibniz, precisamos que an seja eventualmente decrescente. Considere a função f(x)=ln(x)x. Sua derivada é
f'(x)=1-ln(x)x^2,
que é negativa para x>e. Logo, an é decrescente para n>=3.

Passo 4

Pelo teste de Leibniz, como anto0 e an é decrescente a partir de n=3, a série alternada
sumn=1^infty(-1)^n-1an
converge.

Passo 5

Agora checamos a convergência absoluta, isto é, da série sumn=1^inftyan=sumn=1^inftyln(n)n. Aplicando o teste da integral:
integral1^inftyln(x)x,dx=l[tfrac(ln(x))^22r]1^infty=infty
Portanto, sumln(n)n diverge, e a série não converge absolutamente.

Resposta

A série converge condicionalmente.

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