Calcule y^{\prime} :
y=4 \operatorname{sec} (x)+\cot (x)

Passo 1

O enunciado pede para calcular a derivada de y, onde foi dada a função
y = 4\operatorname{sec}(x) + \cot(x).
O que nos pedem explicitamente: encontrar y', a derivada de y em relação a x.

Passo 2

Vamos listar as regras e fatos que vamos usar (explicados de forma bem clara):
  • Regra da linearidade da derivada: para constantes a,b e funções u(x),v(x),
\frac{d}{dx}\bigl(a\,u(x)+b\,v(x)\bigr)=a\,u'(x)+b\,v'(x).
Isto significa que podemos derivar cada termo separadamente e puxar constantes para fora.
  • Derivada de \operatorname{sec}(x). Vou deduzir a fórmula usando que \operatorname{sec}(x)=\dfrac{1}{\cos(x)}. Aplicando a regra do quociente (ou derivando (\cos x)^{-1} pela regra da cadeia), obtemos a fórmula que usaremos:
\frac{d}{dx}\operatorname{sec}(x)=\operatorname{sec}(x)\tan(x).
Vou mostrar o cálculo no próximo passo.
  • Derivada de \cot(x). Como \cot(x)=\dfrac{\cos(x)}{\sin(x)}, aplicando o quociente obtemos
\frac{d}{dx}\cot(x)=-\csc^2(x),
onde \csc(x)=\dfrac{1}{\sin(x)}. Também vou mostrar esse cálculo abaixo.

Passo 3

Derivando \operatorname{sec}(x) a partir de \operatorname{sec}(x)=\dfrac{1}{\cos(x)}. Usando a regra do quociente (ou diferenciando (\cos x)^{-1}):
\frac{d}{dx}\operatorname{sec}(x)=\frac{d}{dx}\left(\frac{1}{\cos x}\right) =\frac{0\cdot\cos x - 1\cdot(-\sin x)}{\cos^2 x} =\frac{\sin x}{\cos^2 x}.
Agora reescrevendo \dfrac{\sin x}{\cos^2 x} como \dfrac{1}{\cos x}\cdot\dfrac{\sin x}{\cos x} temos
\frac{\sin x}{\cos^2 x}=\operatorname{sec}(x)\tan(x).
Portanto confirme-se a fórmula
\frac{d}{dx}\operatorname{sec}(x)=\operatorname{sec}(x)\tan(x).

Passo 4

Derivando \cot(x) a partir de \cot(x)=\dfrac{\cos x}{\sin x}. Aplicando a regra do quociente:
\frac{d}{dx}\cot(x)=\frac{(-\sin x)\cdot\sin x - \cos x\cdot\cos x}{\sin^2 x} =\frac{-(\sin^2 x+\cos^2 x)}{\sin^2 x}.
Como \sin^2 x+\cos^2 x=1, isso simplifica para
\frac{d}{dx}\cot(x)=-\frac{1}{\sin^2 x}=-\csc^2(x).

Passo 5

Agora aplicamos a linearidade da derivada ao problema original. Temos
y = 4\operatorname{sec}(x)+\cot(x)\quad\Rightarrow\quad y'=\frac{d}{dx}\bigl(4\operatorname{sec}(x)\bigr)+\frac{d}{dx}\bigl(\cot(x)\bigr).
Puxando a constante 4 para fora:
\frac{d}{dx}\bigl(4\operatorname{sec}(x)\bigr)=4\cdot\frac{d}{dx}\operatorname{sec}(x).

Passo 6

Usando as fórmulas que deduzimos:
\frac{d}{dx}\operatorname{sec}(x)=\operatorname{sec}(x)\tan(x), \qquad \frac{d}{dx}\cot(x)=-\csc^2(x).
Substituindo em y':
y' = 4\bigl(\operatorname{sec}(x)\tan(x)\bigr) + \bigl(-\csc^2(x)\bigr).

Passo 7

Escrevendo de forma limpa e convencional:
y' = 4\operatorname{sec}(x)\tan(x) - \csc^2(x).

Resposta

y'=4\operatorname{sec}(x)\tan(x)-\csc^2(x)

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