Calcule
:
Passo 1
O enunciado dá a função
e pede para calcular
, a derivada de
em relação a
. Informação relevante fornecida:
- A função é a exponencial de
. - A função
está definida para , com (pontos onde ).
Passo 2
Identificar a estrutura da função: trata-se de uma composição de funções. Escreveremos
onde
e
. Ou seja, primeiro aplica-se
e depois
.
Passo 3
Lembrar e entender a Regra da Cadeia (essa é a ferramenta principal aqui). A Regra da Cadeia diz que, se
, então
Explicando: primeiro derivamos a função exterior
em relação a sua variável
, avaliamos em
; depois multiplicamos pela derivada da função interior
. É como desfazer a composição passo a passo.
Passo 4
Aplicar a Regra da Cadeia ao nosso caso. Sabemos que para
vale
Portanto, pelo passo anterior,
Substituindo
obtemos
Passo 5
Agora precisamos da derivada de
. Uma forma didática de obter
é escrever
e usar a regra do quociente. Se
e
, a regra do quociente diz
Aqui
e
. Substituindo:
Passo 6
Usar a identidade trigonométrica
. Assim
Esta expressão também é escrita como
, onde
. Logo
Passo 7
Voltar à derivada de
. Substituindo a derivada de
no resultado do Passo 4, obtemos
Opcionalmente pode-se escrever de outra forma equivalente: