Calcule y^{\prime} :
y=e^{\tan (x)}

Passo 1

O enunciado dá a função y = e^{\tan(x)} e pede para calcular y^{\prime}, a derivada de y em relação a x. Informação relevante fornecida:
  • A função é a exponencial de \tan(x).
  • A função \tan(x) está definida para x \neq \tfrac{\pi}{2} + k\pi, com k\in\mathbb{Z} (pontos onde \cos(x)=0).

Passo 2

Identificar a estrutura da função: trata-se de uma composição de funções. Escreveremos
y = f(u(x)),
onde f(u)=e^{u} e u(x)=\tan(x). Ou seja, primeiro aplica-se u(x)=\tan(x) e depois f(u)=e^{u}.

Passo 3

Lembrar e entender a Regra da Cadeia (essa é a ferramenta principal aqui). A Regra da Cadeia diz que, se y=f(u(x)), então
\frac{dy}{dx}=f^{\prime}(u(x))\cdot u^{\prime}(x).
Explicando: primeiro derivamos a função exterior f em relação a sua variável u, avaliamos em u(x); depois multiplicamos pela derivada da função interior u(x). É como desfazer a composição passo a passo.

Passo 4

Aplicar a Regra da Cadeia ao nosso caso. Sabemos que para f(u)=e^{u} vale
f^{\prime}(u)=e^{u}.
Portanto, pelo passo anterior,
\frac{dy}{dx}=e^{u(x)}\cdot u^{\prime}(x).
Substituindo u(x)=\tan(x) obtemos
\frac{dy}{dx}=e^{\tan(x)}\cdot \frac{d}{dx}\bigl(\tan(x)\bigr).

Passo 5

Agora precisamos da derivada de \tan(x). Uma forma didática de obter \dfrac{d}{dx}\tan(x) é escrever \tan(x)=\dfrac{\sin(x)}{\cos(x)} e usar a regra do quociente. Se v(x)=\sin(x) e w(x)=\cos(x), a regra do quociente diz
\frac{d}{dx}\!\left(\frac{v}{w}\right)=\frac{v^{\prime}w - v w^{\prime}}{w^{2}}.
Aqui v^{\prime}(x)=\cos(x) e w^{\prime}(x)=-\sin(x). Substituindo:
\frac{d}{dx}\tan(x)=\frac{\cos(x)\cdot\cos(x)-\sin(x)\cdot(-\sin(x))}{\cos^{2}(x)} =\frac{\cos^{2}(x)+\sin^{2}(x)}{\cos^{2}(x)}.

Passo 6

Usar a identidade trigonométrica \sin^{2}(x)+\cos^{2}(x)=1. Assim
\frac{d}{dx}\tan(x)=\frac{1}{\cos^{2}(x)}.
Esta expressão também é escrita como \operatorname{sec}^{2}(x), onde \operatorname{sec}(x)=\dfrac{1}{\cos(x)}. Logo
\frac{d}{dx}\tan(x)=\operatorname{sec}^{2}(x).

Passo 7

Voltar à derivada de y. Substituindo a derivada de \tan(x) no resultado do Passo 4, obtemos
\frac{dy}{dx}=e^{\tan(x)}\cdot \operatorname{sec}^{2}(x).
Opcionalmente pode-se escrever de outra forma equivalente:
\frac{dy}{dx}=\frac{e^{\tan(x)}}{\cos^{2}(x)}.

Resposta

y^{\prime}=e^{\tan(x)}\operatorname{sec}^{2}(x)

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