Calcule y^prime.
y=tg x1+cos x

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício que pede para calcular a derivada de $ y = \frac{\operatorname{tg} x}{1 + \cos x} $. Aqui, estamos lidando com derivadas de funções, especialmente com funções trigonométricas. Para resolver, vamos precisar aplicar a regra do quociente e saber derivar funções trigonométricas básicas.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a derivada de uma função na forma de um quociente, ou seja, $ \frac{u}{v} $, é dada pela regra do quociente: $ y’ = \frac{u’v - uv’}{v^2} $. Então, vamos identificar $ u $ e $ v $ na nossa função.

Passo 3

No nosso caso, temos $ u = \operatorname{tg} x $ e $ v = 1 + \cos x $. Agora, vamos derivar cada uma dessas funções separadamente.

Passo 4

Vamos derivar $ u = \operatorname{tg} x $. Sabemos que a derivada da tangente é $ \operatorname{tg}’ x = \frac{1}{\cos^2 x} $ ou $ \operatorname{tg}’ x = \operatorname{sec}^2 x $.

Passo 5

Agora, vamos derivar $ v = 1 + \cos x $. A derivada da constante 1 é 0, e a derivada de $ \cos x $ é $ -\sin x $. Assim, $ v’ = -\sin x $.

Passo 6

Aplicando a regra do quociente: $ y’ = \frac{u’v - uv’}{v^2} $. Substituindo $ u’ $, $ v $, $ u $ e $ v’ $ que calculamos:
y' = u'v - uv'v^2

Passo 7

Agora, vamos simplificar os termos no numerador:
Primeiro termo: $ \operatorname{sec}^2 x \cdot (1 + \cos x) = \frac{1}{\cos^2 x} \cdot (1 + \cos x) $.
Segundo termo: $ \operatorname{tg} x \cdot (-\sin x) = \frac{\sin x}{\cos x} \cdot (-\sin x) = -\frac{\sin^2 x}{\cos x} $.
Note que dois sinais negativos se anulam, então teremos:
sec^2 x cdot (1 + cos x) = 1cos^2 x cdot (1 + cos x)

Passo 8

Agora, para simplificar, vamos trazer os termos do numerador para um denominador comum:
1 + cos xcos^2 x + sin^2 xcos x = 1 + cos x + sin^2 x cdot cos xcos^2 x

Passo 9

Sabemos que $ \sin^2 x = 1 - \cos^2 x $. Então, substituindo:
sin^2 x = 1 - cos^2 x

Passo 10

Vamos simplificar o numerador:
1 + cos x + cos x - cos^3 x = 1 + 2cos x - cos^3 x
Então, temos:
y' = 1 + 2cos x - cos^3 xcos^2 x cdot (1 + cos x)^2

Passo 11

Podemos fatorar $ 1 + 2\cos x - \cos^3 x $, mas para simplificar ainda mais, podemos deixar assim ou combinar termos se possível.

Resposta

A derivada de $ y = \frac{\operatorname{tg} x}{1 + \cos x} $ é:
y = tg x1 + cos x

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