Calcule
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Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício que pede para calcular a derivada de $ y = \frac{\operatorname{tg} x}{1 + \cos x} $. Aqui, estamos lidando com derivadas de funções, especialmente com funções trigonométricas. Para resolver, vamos precisar aplicar a regra do quociente e saber derivar funções trigonométricas básicas.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que a derivada de uma função na forma de um quociente, ou seja, $ \frac{u}{v} $, é dada pela regra do quociente: $ y’ = \frac{u’v - uv’}{v^2} $. Então, vamos identificar $ u $ e $ v $ na nossa função.
Passo 3
No nosso caso, temos $ u = \operatorname{tg} x $ e $ v = 1 + \cos x $. Agora, vamos derivar cada uma dessas funções separadamente.
Passo 4
Vamos derivar $ u = \operatorname{tg} x $. Sabemos que a derivada da tangente é $ \operatorname{tg}’ x = \frac{1}{\cos^2 x} $ ou $ \operatorname{tg}’ x = \operatorname{sec}^2 x $.
Passo 5
Agora, vamos derivar $ v = 1 + \cos x $. A derivada da constante 1 é 0, e a derivada de $ \cos x $ é $ -\sin x $. Assim, $ v’ = -\sin x $.
Passo 6
Aplicando a regra do quociente: $ y’ = \frac{u’v - uv’}{v^2} $. Substituindo $ u’ $, $ v $, $ u $ e $ v’ $ que calculamos:
Passo 7
Agora, vamos simplificar os termos no numerador:
Primeiro termo: $ \operatorname{sec}^2 x \cdot (1 + \cos x) = \frac{1}{\cos^2 x} \cdot (1 + \cos x) $.
Segundo termo: $ \operatorname{tg} x \cdot (-\sin x) = \frac{\sin x}{\cos x} \cdot (-\sin x) = -\frac{\sin^2 x}{\cos x} $.
Note que dois sinais negativos se anulam, então teremos:
Passo 8
Agora, para simplificar, vamos trazer os termos do numerador para um denominador comum:
Passo 9
Sabemos que $ \sin^2 x = 1 - \cos^2 x $. Então, substituindo:
Passo 10
Vamos simplificar o numerador:
Então, temos:
Passo 11
Podemos fatorar $ 1 + 2\cos x - \cos^3 x $, mas para simplificar ainda mais, podemos deixar assim ou combinar termos se possível.
Resposta
A derivada de $ y = \frac{\operatorname{tg} x}{1 + \cos x} $ é: