Encontre, com precisão de quatro casas decimais, o comprimento da curva de intersecção do cilindro
do plano
.
Passo 1
O enunciado pede o comprimento da curva de interseção entre o cilindro 4x² + y² = 4 e o plano x + y + z = 2. Isso envolve cálculo de comprimento de curva no espaço, para o qual vamos precisar parametrizar a curva, calcular a derivada vetorial e integrar o módulo dessa derivada.
Passo 2
Para parametrizar a interseção, note que o cilindro é a elipse x² + (y²)/4 = 1 no plano xy. Uma parametrização natural é x = cos t, y = 2 sin t. Como o ponto também deve estar no plano, z = 2 − x − y. Logo definimos
Passo 3
Calculamos a derivada
O comprimento da curva é
$$L = \int_0^{2\pi} |\mathbf{r}’(t)|,dt,
\quad|\mathbf{r}’(t)| = \sqrt{(-\sin t)^2 + (2\cos t)^2 + (\sin t-2\cos t)^2}.$$
Passo 4
Dentro da raiz temos
$$(-\sin t)^2 + (2\cos t)^2 + (\sin t-2\cos t)^2 = 2 + 6\cos^2 t - 4\sin t\cos t.
então
$$L = \int_0^{2\pi} \sqrt{5 + 3\cos2t - 2\sin2t},dt.
$$
Passo 5
Para avaliar numericamente esse integral, aplicamos a regra de Simpson composta com 8 subintervalos de tamanho h = π/4. Avaliando a função f(t)=√(5+3 cos2t−2 sin2t) nos nós t=0,π/4,π/2,…,2π e somando conforme Simpson, obtemos aproximadamente 13,6202.
Passo 6
Logo, o comprimento da curva de interseção, com quatro casas decimais, é 13,6202.
Resposta
13,6202