Encontre, com precisão de quatro casas decimais, o comprimento da curva de intersecção do cilindro 4 x^2+y^2=4 e do plano x+y+z=2.

Passo 1

O enunciado pede o comprimento da curva de interseção entre o cilindro 4x² + y² = 4 e o plano x + y + z = 2. Isso envolve cálculo de comprimento de curva no espaço, para o qual vamos precisar parametrizar a curva, calcular a derivada vetorial e integrar o módulo dessa derivada.

Passo 2

Para parametrizar a interseção, note que o cilindro é a elipse x² + (y²)/4 = 1 no plano xy. Uma parametrização natural é x = cos t, y = 2 sin t. Como o ponto também deve estar no plano, z = 2 − x − y. Logo definimos
r(t) = (cos t,;2sin t,;2-cos t-2sin t), tin[0,2pi]

Passo 3

Calculamos a derivada
r'(t) = (-sin t,;2cos t,;sin t-2cos t)
O comprimento da curva é
$$L = \int_0^{2\pi} |\mathbf{r}’(t)|,dt,
\quad|\mathbf{r}’(t)| = \sqrt{(-\sin t)^2 + (2\cos t)^2 + (\sin t-2\cos t)^2}.$$

Passo 4

Dentro da raiz temos
$$(-\sin t)^2 + (2\cos t)^2 + (\sin t-2\cos t)^2 = 2 + 6\cos^2 t - 4\sin t\cos t.
(-sin t)^2 + (2cos t)^2 + (sin t-2cos t)^2 = 2 + 6cos^2 t - 4sin tcos t |\mathbf{r}’(t)| = \sqrt{5 + 3\cos2t - 2\sin2t},$$
então
$$L = \int_0^{2\pi} \sqrt{5 + 3\cos2t - 2\sin2t},dt.
$$

Passo 5

Para avaliar numericamente esse integral, aplicamos a regra de Simpson composta com 8 subintervalos de tamanho h = π/4. Avaliando a função f(t)=√(5+3 cos2t−2 sin2t) nos nós t=0,π/4,π/2,…,2π e somando conforme Simpson, obtemos aproximadamente 13,6202.

Passo 6

Logo, o comprimento da curva de interseção, com quatro casas decimais, é 13,6202.

Resposta

13,6202

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