Calcule y^prime.
y=x^2 sen pi x

Passo 1

Então, a gente precisa calcular a derivada de $ y = x^{2} \cdot \sin(\pi x) $. Isso faz parte da matéria de cálculo diferencial, mais especificamente sobre derivadas de funções que são produtos de duas funções. Para resolver isso, vamos precisar usar a regra do produto, que nos ajuda a derivar expressões onde duas funções estão multiplicadas.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar as duas funções que estão sendo multiplicadas. No nosso caso:
  • $ f(x) = x^{2} $
  • $ g(x) = \sin(\pi x) $

Passo 3

Agora, precisamos encontrar as derivadas dessas duas funções separadamente.
Para $ f(x) = x^{2} $, a derivada é:
f(x) = x^2
Para $ g(x) = \sin(\pi x) $, aplicamos a regra da cadeia. A derivada de $ \sin(u) $ é $ \cos(u) \cdot u’ $, onde $ u = \pi x $. Então:
f'(x) = 2x

Passo 4

Agora, aplicamos a regra do produto, que diz que a derivada de $ y = f(x) \cdot g(x) $ é:
y = f(x) cdot g(x)
Substituindo as derivadas que encontramos:
y' = f'(x) cdot g(x) + f(x) cdot g'(x)

Resposta

A derivada de $ y = x^{2} \cdot \sin(\pi x) $ é:
y = x^2 cdot sin(pi x)

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