Calcule
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Passo 1
Então, a gente precisa calcular a derivada de $ y = x^{2} \cdot \sin(\pi x) $. Isso faz parte da matéria de cálculo diferencial, mais especificamente sobre derivadas de funções que são produtos de duas funções. Para resolver isso, vamos precisar usar a regra do produto, que nos ajuda a derivar expressões onde duas funções estão multiplicadas.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar as duas funções que estão sendo multiplicadas. No nosso caso:
- $ f(x) = x^{2} $
- $ g(x) = \sin(\pi x) $
Passo 3
Agora, precisamos encontrar as derivadas dessas duas funções separadamente.
Para $ f(x) = x^{2} $, a derivada é:
Para $ g(x) = \sin(\pi x) $, aplicamos a regra da cadeia. A derivada de $ \sin(u) $ é $ \cos(u) \cdot u’ $, onde $ u = \pi x $. Então:
Passo 4
Agora, aplicamos a regra do produto, que diz que a derivada de $ y = f(x) \cdot g(x) $ é:
Substituindo as derivadas que encontramos:
Resposta
A derivada de $ y = x^{2} \cdot \sin(\pi x) $ é: