Calcule y^prime
y=x^2-1raiz1+x^2

Passo 1

Vamos resolver um exercício de derivadas! Precisamos encontrar a derivada de $ y = \frac{x^{2} - 1}{\sqrt{1 + x^{2}}} $. Para isso, vamos usar a regra do quociente e a regra da cadeia.

Passo 2

Primeiro, identifiquemos as partes da função:
  • Numerador (u): $ u = x^{2} - 1 $
  • Denominador (v): $ v = \sqrt{1 + x^{2}} $

Passo 3

A regra do quociente diz que se $ y = \frac{u}{v} $, então a derivada $ y’ $ é:
y = uv
Vamos calcular $ u’ $ e $ v’ $.

Passo 4

Calculando $ u’ $:
u'

Passo 5

Calculando $ v’ $:
v'
Aqui usei a regra da cadeia para derivar a raiz quadrada.

Passo 6

Agora, aplicamos a regra do quociente:
y' = u'v - uv'v^2 = 2x cdot raiz1 + x^2 - (x^2 - 1) cdot xraiz1 + x^2(raiz1 + x^2)^2

Passo 7

Vamos simplificar a expressão:
(raiz1 + x^2)^2 = 1 + x^2 y' = 2x cdot raiz1 + x^2 - x(x^2 - 1)raiz1 + x^21 + x^2 y' = 2x(1 + x^2) - x(x^2 - 1)(1 + x^2)^32 y' = 2x + 2x^3 - x^3 + x(1 + x^2)^32 y' = x^3 + 3x(1 + x^2)^32

Resposta

y^prime = dfrac,x^3 + 3x,,(1 + x^2)^32,

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