Calcule y^prime
y=(x^2+1)^2(2 x+1)^3(3 x-1)^5

Passo 1

Beleza, vamos resolver a derivada de $ y = \frac{(x^{2} + 1)^{2}}{(2x + 1)^{3}(3x - 1)^{5}} $. O conteúdo que vamos usar aqui envolve a Regra do Quociente e a Regra da Cadeia para derivadas. Precisamos lembrar como aplicar essas regras para funções que estão divididas e também elevadas a potências.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar as partes da nossa função que correspondem ao numerador e ao denominador. No nosso caso:
  • Numerador: $ u = (x^{2} + 1)^{2} $
  • Denominador: $ v = (2x + 1)^{3}(3x - 1)^{5} $
Vamos derivar $ u $ e $ v $ separadamente usando a Regra da Cadeia.

Passo 3

Vamos derivar o numerador $ u = (x^{2} + 1)^{2} $.
Aplicando a Regra da Cadeia:
u = (x^2 + 1)^2

Passo 4

Agora, vamos derivar o denominador $ v = (2x + 1)^{3}(3x - 1)^{5} $.
Primeiro, aplicamos a Regra do Produto para derivar $ v $:
v = (2x + 1)^3(3x - 1)^5
Usando a Regra da Cadeia em cada termo:
v
v' = (2x + 1)^3 cdot ddx(3x - 1)^5 + (3x - 1)^5 cdot ddx(2x + 1)^3
Então:
ddx(3x - 1)^5 = 5(3x - 1)^4 cdot 3 = 15(3x - 1)^4
ddx(2x + 1)^3 = 3(2x + 1)^2 cdot 2 = 6(2x + 1)^2

Passo 5

Agora que temos $ u’ $ e $ v’ $, vamos aplicar a Regra do Quociente para derivar $ y $:
u'
Substituindo $ u $, $ u’ $, $ v $ e $ v’ $:
v'

Passo 6

Vamos simplificar a expressão. Primeiro, observe que o denominador $ v^{2} = (2x + 1)^{6}(3x - 1)^{10} $.
No numerador, fatoramos $ (x^{2} + 1)(2x + 1)^{2}(3x - 1)^{4} $:
v^2 = (2x + 1)^6(3x - 1)^10
Simplificando ainda mais:

Resposta

A derivada de $ y $ é:
y

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