Calcule
Passo 1
Beleza, vamos resolver a derivada de $ y = \frac{(x^{2} + 1)^{2}}{(2x + 1)^{3}(3x - 1)^{5}} $. O conteúdo que vamos usar aqui envolve a Regra do Quociente e a Regra da Cadeia para derivadas. Precisamos lembrar como aplicar essas regras para funções que estão divididas e também elevadas a potências.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar as partes da nossa função que correspondem ao numerador e ao denominador. No nosso caso:
- Numerador: $ u = (x^{2} + 1)^{2} $
- Denominador: $ v = (2x + 1)^{3}(3x - 1)^{5} $
Vamos derivar $ u $ e $ v $ separadamente usando a Regra da Cadeia.
Passo 3
Vamos derivar o numerador $ u = (x^{2} + 1)^{2} $.
Aplicando a Regra da Cadeia:
Passo 4
Agora, vamos derivar o denominador $ v = (2x + 1)^{3}(3x - 1)^{5} $.
Primeiro, aplicamos a Regra do Produto para derivar $ v $:
Usando a Regra da Cadeia em cada termo:
Então:
Passo 5
Agora que temos $ u’ $ e $ v’ $, vamos aplicar a Regra do Quociente para derivar $ y $:
Substituindo $ u $, $ u’ $, $ v $ e $ v’ $:
Passo 6
Vamos simplificar a expressão. Primeiro, observe que o denominador $ v^{2} = (2x + 1)^{6}(3x - 1)^{10} $.
No numerador, fatoramos $ (x^{2} + 1)(2x + 1)^{2}(3x - 1)^{4} $:
Simplificando ainda mais:
Resposta
A derivada de $ y $ é: