Determine se a afirmação é verdaderira ou falsia, justifique sua resposta.
( ) Se
for derivável, então
( ) Se
Passo 1
Vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma função $ f $ que é derivável, e precisamos verificar se a derivada de $ |f(\sqrt{x})| $ em relação a $ x $ é igual a $ \frac{f^{\prime}(x)}{2 \sqrt{x}} $. Para resolver isso, vamos usar as regras de derivação, incluindo a regra da cadeia e a derivada do valor absoluto.
Passo 2
Primeiro, vamos derivar $ |f(\sqrt{x})| $. Para isso, lembramos que a derivada de $ |u| $ em relação a $ u $ é $ \frac{u}{|u|} \cdot u’ $, desde que $ u \neq 0 $.
Passo 3
Aplicando a regra da cadeia, temos que $ u = f(\sqrt{x}) $ e precisamos derivar $ u $ em relação a $ x $. Para isso, derivamos $ f(\sqrt{x}) $ em relação a $ \sqrt{x} $ multiplicado pela derivada de $ \sqrt{x} $ em relação a $ x $.
Passo 4
A derivada de $ f(\sqrt{x}) $ em relação a $ \sqrt{x} $ é $ f’(\sqrt{x}) $, e a derivada de $ \sqrt{x} $ em relação a $ x $ é $ \frac{1}{2\sqrt{x}} $. Portanto, $ u’ = f’(\sqrt{x}) \cdot \frac{1}{2\sqrt{x}} $.
Passo 5
Substituindo na derivada de $ |u| $, temos:
Passo 6
Comparando com a afirmação original $ \frac{f^{\prime}(x)}{2 \sqrt{x}} $, vemos que não são equivalentes, já que temos $ f’(\sqrt{x}) $ e não $ f’(x) $.
Resposta
A afirmação é falsa.