Calcule y^{\prime} :
y=x e^{\frac{1}{x}}

Passo 1

O enunciado pede calcular a derivada y^{\prime} da função dada. As informações fornecidas são:
  • A função é y = x e^{\frac{1}{x}}.
  • A função está definida para x \neq 0 (porque \frac{1}{x} não é definido em x=0).
  • A única pergunta: encontrar y^{\prime}.

Passo 2

Primeiro conceito que precisamos: a regra do produto. Ela diz que, se \,u(x) e v(x) são funções diferenciáveis, então a derivada do produto é
(uv)' = u'v + uv'.
Explicando devagar: pegue a primeira função, derive ela e multiplique pela segunda; depois some com a primeira função multiplicada pela derivada da segunda. Essa é uma fórmula padrão que se aplica sempre que tiver produto de duas funções.

Passo 3

Identificamos no nosso caso:
u(x) = x,\qquad v(x) = e^{\frac{1}{x}}.
Agora calculamos u'(x). Como u(x)=x, pela regra básica da derivada temos
u'(x)=1.

Passo 4

Agora precisamos de v'(x). Observe que v(x) é uma função composta: é a exponencial com argumento \frac{1}{x}. Para compostos usamos a regra da cadeia. A regra da cadeia diz que, se v(x)=f(g(x)), então
v'(x)=f'(g(x))\cdot g'(x).
No nosso caso f(t)=e^{t} e g(x)=\frac{1}{x}. Sabemos que a derivada da exponencial é ela mesma:
f'(t)=e^{t}.
Assim, ao aplicar a cadeia,
v'(x)=e^{\frac{1}{x}}\cdot\left(\frac{d}{dx}\frac{1}{x}\right).

Passo 5

Agora calculamos a derivada de \frac{1}{x}. É mais fácil reescrever \frac{1}{x}=x^{-1}. Usando a regra do poder (derivada de x^{n} é n x^{n-1}) obtemos
\frac{d}{dx}\left(x^{-1}\right) = -1\cdot x^{-2} = -\frac{1}{x^{2}}.
Portanto
v'(x)=e^{\frac{1}{x}}\cdot\left(-\frac{1}{x^{2}}\right) = -\frac{1}{x^{2}}\,e^{\frac{1}{x}}.

Passo 6

Agora aplicamos a regra do produto y' = u'v + u v'. Substituindo os resultados:
y' = 1\cdot e^{\frac{1}{x}} + x\cdot\left(-\frac{1}{x^{2}}\,e^{\frac{1}{x}}\right).
Fazendo a multiplicação no segundo termo:
x\cdot\left(-\frac{1}{x^{2}}\,e^{\frac{1}{x}}\right) = -\frac{1}{x}\,e^{\frac{1}{x}}.
Então
y' = e^{\frac{1}{x}} - \frac{1}{x}\,e^{\frac{1}{x}}.

Passo 7

Para deixar mais arrumado, fatoramos e^{\frac{1}{x}}:
y' = e^{\frac{1}{x}}\left(1 - \frac{1}{x}\right).
Outra forma equivalente é
y' = \frac{x-1}{x}\,e^{\frac{1}{x}}.
Ambas estão corretas; na prova escolha a que achar mais clara. Lembre-se que esta expressão vale para x\neq0.

Resposta

y' = e^{\frac{1}{x}}\left(1 - \frac{1}{x}\right)

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