Calcule
e
Passo 1
O enunciado dá duas funções quadráticas e pede que as calculemos:
Como “calcule” é ambíguo, vou obter para cada uma:
- as raízes (zeros), mostrando fatoração;
- o vértice (coordenadas e o valor máximo);
- a forma canônica (completando o quadrado);
- o eixo de simetria e a concavidade.
Também vou verificar onde as duas parábolas se intersectam.
Passo 2
Conceitos rápidos e fórmulas que vamos usar (explicadinho, sem pressa):
- Uma função quadrática tem forma geral
. Aqui em ambas. - Concavidade: se
abre para cima (mínimo); se abre para baixo (máximo). Como , cada parábola tem um ponto máximo. - Vértice: a abscissa do vértice vale
. A ordenada é obtida substituindo na função. - Explicando a fórmula: o eixo de simetria é a linha vertical que passa pelo vértice; para um polinômio
a média das raízes (quando existem) é , e isso coincide com a abscissa do vértice.
- Explicando a fórmula: o eixo de simetria é a linha vertical que passa pelo vértice; para um polinômio
- Raízes: para resolver
podemos fatorar quando for fácil, ou usar a fórmula quadrática. Aqui as funções têm coeficientes que permitem fatoração simples. - Forma canônica (completando o quadrado): transforma
em , onde é o vértice. Para completar o quadrado, agrupa-se e adiciona/subtrai o termo necessário.
Passo 3
Resolver para a primeira função
.
a) Identificar coeficientes:
,
,
.
b) Raízes (zerar
):
Fatorando:
Portanto as raízes são
e
. Explicação: um produto é zero quando algum fator é zero.
c) Vértice (abscissa):
Ordenada
: substituir
na função:
Logo o vértice é
e, por abrir para baixo, esse é um máximo com valor máximo
.
d) Forma canônica (completando o quadrado):
Começamos por fatorar o coeficiente (aqui
):
Começamos por fatorar o coeficiente
Completa-se o quadrado dentro do parêntese:
. Assim
Isso mostra diretamente o vértice
.
e) Eixo de simetria e concavidade: eixo
; concavidade para baixo (porque
).
Passo 4
Resolver para a segunda função
.
a) Coeficientes:
,
,
.
b) Raízes (zerar
):
Multiplicando por
para facilitar:
Fatora-se:
. Assim as raízes são
e
.
c) Vértice (abscissa):
Ordenada
: substituir
:
Vértice
; máximo
.
d) Forma canônica (completando o quadrado):
Escreve-se
Escreve-se
Reconhece-se
porque
. Então
Isso confirma o vértice
.
e) Eixo de simetria e concavidade: eixo
; concavidade para baixo.
Passo 5
Interseção entre as duas parábolas (onde os
são iguais):
Corta-se
dos dois lados:
Isolando
:
Substituindo
em qualquer das funções dá
. Logo as parábolas se intersectam em um único ponto
. Observação: isso também aparece nas raízes — ambas têm
como raiz.
Passo 6
Recapitulação rápida e dica para prova (amigo explicando): quando vir quadráticas, primeiro identifique
. Se
lembre que é máximo; calcule
e depois
. Para raízes tente fatorar antes de aplicar a fórmula quadrática — isso economiza tempo. Completar o quadrado dá a forma canônica, que revela o vértice diretamente.
Resposta
Para
: raízes
e
. Vértice
. Forma canônica
. Eixo de simetria
. Máximo
.
Para
: raízes
e
. Vértice
. Forma canônica
. Eixo de simetria
. Máximo
.
Interseção entre as duas parábolas:
.