Calcule y=-x^{2}+4 x e y=-x^{2}+6 x-8

Passo 1

O enunciado dá duas funções quadráticas e pede que as calculemos:
  • y=-x^{2}+4x
  • y=-x^{2}+6x-8
Como “calcule” é ambíguo, vou obter para cada uma:
  • as raízes (zeros), mostrando fatoração;
  • o vértice (coordenadas e o valor máximo);
  • a forma canônica (completando o quadrado);
  • o eixo de simetria e a concavidade.
    Também vou verificar onde as duas parábolas se intersectam.

Passo 2

Conceitos rápidos e fórmulas que vamos usar (explicadinho, sem pressa):
  • Uma função quadrática tem forma geral y=ax^{2}+bx+c. Aqui a=-1 em ambas.
  • Concavidade: se a>0 abre para cima (mínimo); se a<0 abre para baixo (máximo). Como a=-1<0, cada parábola tem um ponto máximo.
  • Vértice: a abscissa do vértice vale \displaystyle x_{v}=-\dfrac{b}{2a}. A ordenada é y_{v} obtida substituindo x_{v} na função.
    • Explicando a fórmula: o eixo de simetria é a linha vertical que passa pelo vértice; para um polinômio ax^2+bx+c a média das raízes (quando existem) é -b/(2a), e isso coincide com a abscissa do vértice.
  • Raízes: para resolver ax^{2}+bx+c=0 podemos fatorar quando for fácil, ou usar a fórmula quadrática. Aqui as funções têm coeficientes que permitem fatoração simples.
  • Forma canônica (completando o quadrado): transforma ax^{2}+bx+c em a(x-h)^{2}+k, onde (h,k) é o vértice. Para completar o quadrado, agrupa-se a(x^{2}+\frac{b}{a}x) e adiciona/subtrai o termo necessário.

Passo 3

Resolver para a primeira função y=-x^{2}+4x.
a) Identificar coeficientes: a=-1, b=4, c=0.
b) Raízes (zerar y):
-x^{2}+4x=0.
Fatorando:
-x(x-4)=0.
Portanto as raízes são x=0 e x=4. Explicação: um produto é zero quando algum fator é zero.
c) Vértice (abscissa):
x_{v}=-\dfrac{b}{2a}=-\dfrac{4}{2\cdot(-1)}=-\dfrac{4}{-2}=2.
Ordenada y_{v}: substituir x=2 na função:
y_{v}=-2^{2}+4\cdot2=-4+8=4.
Logo o vértice é (2,4) e, por abrir para baixo, esse é um máximo com valor máximo y_{\max}=4.
d) Forma canônica (completando o quadrado):
Começamos por fatorar o coeficiente a (aqui -1):
y=-\bigl(x^{2}-4x\bigr).
Completa-se o quadrado dentro do parêntese: x^{2}-4x=(x^{2}-4x+4)-4=(x-2)^{2}-4. Assim
y=-\bigl((x-2)^{2}-4\bigr)=-(x-2)^{2}+4.
Isso mostra diretamente o vértice (2,4).
e) Eixo de simetria e concavidade: eixo x=2; concavidade para baixo (porque a=-1).

Passo 4

Resolver para a segunda função y=-x^{2}+6x-8.
a) Coeficientes: a=-1, b=6, c=-8.
b) Raízes (zerar y):
-x^{2}+6x-8=0.
Multiplicando por -1 para facilitar:
x^{2}-6x+8=0.
Fatora-se: x^{2}-6x+8=(x-2)(x-4). Assim as raízes são x=2 e x=4.
c) Vértice (abscissa):
x_{v}=-\dfrac{b}{2a}=-\dfrac{6}{2\cdot(-1)}=-\dfrac{6}{-2}=3.
Ordenada y_{v}: substituir x=3:
y_{v}=-3^{2}+6\cdot3-8=-9+18-8=1.
Vértice (3,1); máximo y_{\max}=1.
d) Forma canônica (completando o quadrado):
Escreve-se
y=-\bigl(x^{2}-6x+8\bigr).
Reconhece-se x^{2}-6x+8=(x-3)^{2}-1 porque (x-3)^{2}=x^{2}-6x+9. Então
y=-\bigl((x-3)^{2}-1\bigr)=-(x-3)^{2}+1.
Isso confirma o vértice (3,1).
e) Eixo de simetria e concavidade: eixo x=3; concavidade para baixo.

Passo 5

Interseção entre as duas parábolas (onde os y são iguais):
-x^{2}+4x=-x^{2}+6x-8.
Corta-se -x^{2} dos dois lados:
4x=6x-8.
Isolando x:
-2x=-8\quad\Rightarrow\quad x=4.
Substituindo x=4 em qualquer das funções dá y=0. Logo as parábolas se intersectam em um único ponto (4,0). Observação: isso também aparece nas raízes — ambas têm x=4 como raiz.

Passo 6

Recapitulação rápida e dica para prova (amigo explicando): quando vir quadráticas, primeiro identifique a,b,c. Se a<0 lembre que é máximo; calcule x_{v}=-b/(2a) e depois y_{v}. Para raízes tente fatorar antes de aplicar a fórmula quadrática — isso economiza tempo. Completar o quadrado dá a forma canônica, que revela o vértice diretamente.

Resposta

Para y=-x^{2}+4x: raízes x=0 e x=4. Vértice (2,4). Forma canônica y=-(x-2)^{2}+4. Eixo de simetria x=2. Máximo y_{\max}=4.
Para y=-x^{2}+6x-8: raízes x=2 e x=4. Vértice (3,1). Forma canônica y=-(x-3)^{2}+1. Eixo de simetria x=3. Máximo y_{\max}=1.
Interseção entre as duas parábolas: (4,0).

Exercícios relacionados