(5 pontos) Esboce a região limitada pela função abaixo e calcule a área da região. y= x^{2}+x-2 e y=2 x+1.

Passo 1

O enunciado dá duas curvas e pede duas coisas: esboçar a região limitada por elas e calcular a área dessa região. As informações fornecidas são:
  • y = x^{2}+x-2 (parábola),
  • y = 2x+1 (reta).
    As perguntas específicas: (1) desenhar (ou esboçar) a região limitada pelas duas curvas; (2) calcular a área dessa região.

Passo 2

Encontrar os pontos de interseção (esses serão os limites de integração). Igualando as duas expressões:
x^{2}+x-2 = 2x+1.
Reorganizando:
x^{2}+x-2 -2x -1 = 0 \quad\Rightarrow\quad x^{2}-x-3=0.
Resolver a equação quadrática usando a fórmula de Bhaskara:
x = \frac{1 \pm \sqrt{1+12}}{2} = \frac{1 \pm \sqrt{13}}{2}.
Logo os pontos de interseção têm abscissas
a = \frac{1-\sqrt{13}}{2},\qquad b = \frac{1+\sqrt{13}}{2}.

Passo 3

Determinar qual curva está por cima entre a e b. Calculo da diferença y_{\text{reta}}-y_{\text{parábola}}á:
(2x+1) - (x^{2}+x-2) = -x^{2}+x+3.
Esse polinômio tem raízes exatamente em a e b. Para um teste rápido, avalio em x=0 (que fica entre a e b):
-x^{2}+x+3\Big|_{x=0}=3>0,
logo no intervalo (a,b) a diferença é positiva e a reta y=2x+1 está acima da parábola y=x^{2}+x-2. Portanto a área pedida é
\text{área}=\int_{a}^{b}\big[(2x+1)-(x^{2}+x-2)\big]\,dx=\int_{a}^{b}\big(-x^{2}+x+3\big)\,dx.á

Passo 4

Explico a fórmula que estou usando: a área entre duas curvas y_{\text{top}}(x) e y_{\text{bot}}(x) em x\in[a,b] é
\text{área}=\int_{a}^{b}\big(y_{\text{top}}(x)-y_{\text{bot}}(x)\big)\,dx.á
Aqui y_{\text{top}}(x)=2x+1 e y_{\text{bot}}(x)=x^{2}+x-2. Já simplifiquei o integrando para -x^{2}+x+3.

Passo 5

Calcular a primitiva do integrando passo a passo:
\int\big(-x^{2}+x+3\big)\,dx = -\frac{x^{3}}{3}+\frac{x^{2}}{2}+3x + C.
Chamando essa primitiva de F(x):
F(x) = -\frac{x^{3}}{3}+\frac{x^{2}}{2}+3x.

Passo 6

Avaliar F(b)-F(a). Para simplificar os cálculos uso a simetria: o eixo médio entre as raízes é x=\tfrac{1}{2}. Faço a mudança t=x-\tfrac{1}{2}. Então os limites ficam t\in\big[-\tfrac{\sqrt{13}}{2},\tfrac{\sqrt{13}}{2}\big]. Reescrevendo o integrando em t:
-x^{2}+x+3 = -\big(t+\tfrac{1}{2}\big)^{2}+\big(t+\tfrac{1}{2}\big)+3 = -t^{2}+\frac{13}{4}.
Como essa função em t é par, a integral de -t^{2}+\tfrac{13}{4} de -A a A
\text{área}=2\int_{0}^{A}\Big(-t^{2}+\frac{13}{4}\Big)\,dt,á
com A=\dfrac{\sqrt{13}}{2}. Calculo:
2\left[-\frac{t^{3}}{3}+\frac{13}{4}t\right]_{0}^{A} =2\left(-\frac{A^{3}}{3}+\frac{13}{4}A\right).
Agora A=\dfrac{\sqrt{13}}{2} e A^{3}=\dfrac{13\sqrt{13}}{8}. Substituindo:
2\left(-\frac{1}{3}\cdot\frac{13\sqrt{13}}{8}+\frac{13}{4}\cdot\frac{\sqrt{13}}{2}\right) =2\left(-\frac{13\sqrt{13}}{24}+\frac{13\sqrt{13}}{8}\right).
Colocando em comum denominador:
2\left(\frac{-13\sqrt{13}+3\cdot13\sqrt{13}}{24}\right) =2\left(\frac{2\cdot13\sqrt{13}}{24}\right) =\frac{26\sqrt{13}}{12}=\frac{13\sqrt{13}}{6}.

Resposta

\dfrac{13\sqrt{13}}{6}

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