Aqui y_{\text{top}}(x)=2x+1 e y_{\text{bot}}(x)=x^{2}+x-2. Já simplifiquei o integrando para -x^{2}+x+3.
Passo 5
Calcular a primitiva do integrando passo a passo:
\int\big(-x^{2}+x+3\big)\,dx = -\frac{x^{3}}{3}+\frac{x^{2}}{2}+3x + C.
Chamando essa primitiva de F(x):
F(x) = -\frac{x^{3}}{3}+\frac{x^{2}}{2}+3x.
Passo 6
Avaliar F(b)-F(a). Para simplificar os cálculos uso a simetria: o eixo médio entre as raízes é x=\tfrac{1}{2}. Faço a mudança t=x-\tfrac{1}{2}. Então os limites ficam t\in\big[-\tfrac{\sqrt{13}}{2},\tfrac{\sqrt{13}}{2}\big]. Reescrevendo o integrando em t: