Esboce o sólido obtido pela rotação da região limitada e calcule o volume.
e
Passo 1
O enunciado fornece a curva
e a reta vertical
e pede duas coisas: esboçar o sólido obtido pela rotação da região limitada e calcular o volume desse sólido.
Informações relevantes extraídas do enunciado:
Informações relevantes extraídas do enunciado:
- A função está definida quando
, ou seja, para . - A curva intersecta o eixo
quando . Resolvendo obtém-se . Portanto a curva passa pelo ponto . - A reta vertical dada é
. - A região limitada natural e implícita aqui é a região plana entre a curva
, a reta vertical e o eixo (entre e ), ou seja .
Observação importante: o enunciado não especificou o eixo de rotação; aqui vou assumir a hipótese mais comum nesse tipo de exercício — rotação em torno do eixo. Se a rotação fosse em torno de outro eixo o procedimento seria diferente; justificarei a escolha do método no passo seguinte.\n
Passo 2
Escolhendo o método e explicando a ideia (aula rápida e amigável).
Quando se rotaciona uma região dada por uma função em torno do eixo
, o método mais direto é o método dos discos (ou anéis/washer se houver buraco). A ideia é: cortar o sólido por fatias perpendiculares ao eixo de rotação (aqui, planos perpendiculares ao eixo
), cada fatia é aproximadamente um disco de espessura
e raio igual à altura
da região naquele
. Somando (integrando) as áreas desses discos obtemos o volume total.
Quando se rotaciona uma região dada por uma função
Fórmula do método dos discos/anéis:
onde:
-
e são os limites em da região (os extremos do intervalo sobre o qual integramos); -
é o raio externo do anel (distância do eixo de rotação até a curva superior); -
é o raio interno (se houver um buraco; se a região toca o eixo de rotação então ).
Justificativa de escolha: aqui a região é dada por
como função de
e estamos rotacionando em torno do eixo
, então usar discos (integrar em
) é o mais simples. O método dos cascos cilíndricos (shells) também funciona, mas exigiria integração em
e é desnecessariamente mais trabalhoso neste caso.\n
Passo 3
Definir os limites de integração e os raios.
- Como identificado no passo 1, a região tem
variando de até . Logo e . - Ao rotacionar em torno do eixo
, o raio externo é a ordenada da curva: . - A região toca o eixo
(em ), então não há buraco interno: .\n
Passo 4
Montar a integral do volume usando a fórmula dos discos.
Substituindo na fórmula:
Substituindo na fórmula:
Explicação da simplificação: elevar ao quadrado a raiz cancela a raiz, portanto
. Assim a integral fica mais simples:
\n
Passo 5
Calcular a integral passo a passo (sem pular etapas).
- Primeiro, achar uma primitiva de
. Sabendo que e , uma primitiva é
- Avaliar
nos limites e :
- Subtrair
. - Multiplicar por
:
Portanto o volume do sólido de revolução (em torno do eixo
) é
(unidades de volume).\n
Passo 6
Esboço verbal do sólido (como desenhar na prova e o que esperar).
- Primeiro desenhe o eixo
horizontal e marque e . - Plote a curva
: começa em e cresce lentamente; em seu valor é . - A região sólida a ser rotacionada é a “faixa” entre essa curva e o eixo
, do até . - Ao rotacionar em torno do eixo
, cada segmento vertical vira um disco de raio . O sólido resultante é um corpo liso que tem raio zero em e raio em ; visualmente lembra um “recipiente cheio” sem fundo, com perfil gerado por (não é um cone reto — o perfil é a raiz quadrada, então o contorno é curvo).
Dica para a prova: desenhe o perfil
, marque a região, desenhe alguns discos representando fatias transversais e escreva a integral
. Isso mostra que você entendeu a geometria e garante a nota.\n