Esboce o sólido obtido pela rotação da região limitada e calcule o volume.
y=\sqrt{2 x-4} e x=5

Passo 1

O enunciado fornece a curva y=\sqrt{2x-4} e a reta vertical x=5 e pede duas coisas: esboçar o sólido obtido pela rotação da região limitada e calcular o volume desse sólido.
Informações relevantes extraídas do enunciado:
  • A função está definida quando 2x-4\ge 0, ou seja, para x\ge 2.
  • A curva intersecta o eixo x quando y=0. Resolvendo 0=\sqrt{2x-4} obtém-se x=2. Portanto a curva passa pelo ponto (2,0).
  • A reta vertical dada é x=5.
  • A região limitada natural e implícita aqui é a região plana entre a curva y=\sqrt{2x-4}, a reta vertical x=5 e o eixo x (entre x=2 e x=5), ou seja \{(x,y):2\le x\le5,\\\ 0\le y\le\sqrt{2x-4}\}.
    Observação importante: o enunciado não especificou o eixo de rotação; aqui vou assumir a hipótese mais comum nesse tipo de exercício — rotação em torno do eixo x. Se a rotação fosse em torno de outro eixo o procedimento seria diferente; justificarei a escolha do método no passo seguinte.\n

Passo 2

Escolhendo o método e explicando a ideia (aula rápida e amigável).
Quando se rotaciona uma região dada por uma função y=f(x) em torno do eixo x, o método mais direto é o método dos discos (ou anéis/washer se houver buraco). A ideia é: cortar o sólido por fatias perpendiculares ao eixo de rotação (aqui, planos perpendiculares ao eixo x), cada fatia é aproximadamente um disco de espessura dx e raio igual à altura y da região naquele x. Somando (integrando) as áreas desses discos obtemos o volume total.
Fórmula do método dos discos/anéis:
V=\pi\int_{a}^{b}\big(R(x)^2-r(x)^2\big)\,dx,
onde:
  • a e b são os limites em x da região (os extremos do intervalo sobre o qual integramos);
  • R(x) é o raio externo do anel (distância do eixo de rotação até a curva superior);
  • r(x) é o raio interno (se houver um buraco; se a região toca o eixo de rotação então r(x)=0).
Justificativa de escolha: aqui a região é dada por y como função de x e estamos rotacionando em torno do eixo x, então usar discos (integrar em x) é o mais simples. O método dos cascos cilíndricos (shells) também funciona, mas exigiria integração em y e é desnecessariamente mais trabalhoso neste caso.\n

Passo 3

Definir os limites de integração e os raios.
  • Como identificado no passo 1, a região tem x variando de x=2 até x=5. Logo a=2 e b=5.
  • Ao rotacionar em torno do eixo x, o raio externo é a ordenada da curva: R(x)=y=\sqrt{2x-4}.
  • A região toca o eixo x (em y=0), então não há buraco interno: r(x)=0.\n

Passo 4

Montar a integral do volume usando a fórmula dos discos.
Substituindo na fórmula:
V=\pi\int_{2}^{5}\big(\sqrt{2x-4}\big)^2\,dx.
Explicação da simplificação: elevar ao quadrado a raiz cancela a raiz, portanto \big(\sqrt{2x-4}\big)^2=2x-4. Assim a integral fica mais simples: V=\pi\int_{2}^{5}(2x-4)\,dx.\n

Passo 5

Calcular a integral passo a passo (sem pular etapas).
  • Primeiro, achar uma primitiva de 2x-4. Sabendo que \int 2x\,dx = x^2 e \int 4\,dx = 4x, uma primitiva é
F(x)=x^2-4x.
  • Avaliar F nos limites 2 e 5:
F(5)=5^2-4\cdot5=25-20=5,
F(2)=2^2-4\cdot2=4-8=-4.
  • Subtrair F(5)-F(2)=5-(-4)=9.
  • Multiplicar por \pi:
V=\pi\cdot 9 = 9\pi.
Portanto o volume do sólido de revolução (em torno do eixo x) é 9\pi (unidades de volume).\n

Passo 6

Esboço verbal do sólido (como desenhar na prova e o que esperar).
  • Primeiro desenhe o eixo x horizontal e marque x=2 e x=5.
  • Plote a curva y=\sqrt{2x-4}: começa em (2,0) e cresce lentamente; em x=5 seu valor é y(5)=\sqrt{2\cdot5-4}=\sqrt{6}\approx 2{,}45.
  • A região sólida a ser rotacionada é a “faixa” entre essa curva e o eixo x, do x=2 até x=5.
  • Ao rotacionar em torno do eixo x, cada segmento vertical vira um disco de raio y. O sólido resultante é um corpo liso que tem raio zero em x=2 e raio \sqrt{6} em x=5; visualmente lembra um “recipiente cheio” sem fundo, com perfil gerado por y (não é um cone reto — o perfil é a raiz quadrada, então o contorno é curvo).
Dica para a prova: desenhe o perfil y=\sqrt{2x-4}, marque a região, desenhe alguns discos representando fatias transversais e escreva a integral \pi\int_{2}^{5}(\sqrt{2x-4})^2dx. Isso mostra que você entendeu a geometria e garante a nota.\n

Resposta

9\pi

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