esboce y=x^{2}+x e y=x^{3}-x^{2}-2 x

Passo 1

O enunciado pede: esboçar (fazer um rascunho do gráfico de) as funções
y = x^{2}+x
e
y = x^{3}-x^{2}-2x.
Informações dadas: as expressões algébricas das duas funções. Não há mais dados (como uma figura já dada). O objetivo é obter os pontos e características suficientes para desenhar cada curva: interceptos com eixos, extremos relativos, concavidade, pontos de inflexão e comportamento para x\to\pm\infty.

Passo 2

Análise da função \;y = x^{2}+x\; — primeiros passos (domínio e interceptos).
  • Domínio: todos os reais, isto é \mathbb{R}.
  • Intersecção com o eixo y (tomar x=0):
y(0)=0^2+0=0.
Logo passa por (0,0).
  • Zeros (intersecção com o eixo x, resolver x^{2}+x=0):
x(x+1)=0 \quad\Rightarrow\quad x=0\\ \text{ou}\\ x=-1.
Portanto pontos de corte com o eixo x: (-1,0) e (0,0).

Passo 3

Análise da forma e dos extremos da parábola \;y=x^{2}+x\;.
  • Como é um polinômio quadrático com coeficiente de x^{2} positivo ( a=1>0), é uma parábola que abre para cima. Haverá um mínimo (vértice).
  • Coordenada x do vértice (fórmula da abscissa do vértice):
x_V = -\frac{b}{2a} = -\frac{1}{2\cdot 1} = -\tfrac{1}{2}.
  • Valor de y no vértice:
y\!\left(-\tfrac{1}{2}\right)=\left(-\tfrac{1}{2}\right)^2+\left(-\tfrac{1}{2}\right)=\tfrac{1}{4}-\tfrac{1}{2}=-\tfrac{1}{4}.
Vértice: \left(-\tfrac{1}{2}, -\tfrac{1}{4}\right) (mínimo).

Passo 4

Monotonicidade e concavidade da parábola \;y=x^{2}+x\; usando derivadas (explicação didática do uso das derivadas).
  • Intuição rápida: a derivada f'(x) nos dá a inclinação da reta tangente; quando f'(x)>0 a função sobe, quando f'(x)<0 a função desce. A segunda derivada f''(x) indica se a curva é côncava para cima ( f''>0) ou para baixo ( f''<0).
  • Calcular derivadas:
f'(x)=2x+1, \qquad f''(x)=2.
  • Resolver f'(x)=0 dá o ponto crítico:
2x+1=0 \quad\Rightarrow\quad x=-\tfrac{1}{2},
que já é o vértice. Como f''(x)=2>0 para todo x, a curva é côncava para cima em todo lugar e o ponto crítico é um mínimo.
  • Monotonicidade: f'(x)<0 para x<-\tfrac{1}{2} (função decresce à esquerda do vértice) e f'(x)>0 para x>-\tfrac{1}{2} (função cresce à direita).

Passo 5

Pontos auxiliares úteis para desenhar \;y=x^{2}+x\; e comportamento final.
  • Valores fáceis para marcar:
f(-1)=(-1)^2+(-1)=1-1=0,\quad f(0)=0,\quad f(1)=1+1=2,\quad f(-2)=4-2=2.
  • Comportamento nas extremidades:
\lim_{x\to+\infty} (x^{2}+x)=+\infty,\qquad \lim_{x\to-\infty} (x^{2}+x)=+\infty.
  • Instrução de esboço: desenhar eixo, marcar raízes (-1,0) e (0,0), marcar vértice \left(-\tfrac{1}{2},-\tfrac{1}{4}\right), marcar pontos (1,2) e (-2,2) para referência; traçar uma parábola suave que abre para cima, simétrica em relação à reta vertical x=-\tfrac{1}{2}.

Passo 6

Agora a função cúbica \;y = x^{3}-x^{2}-2x\; — zeros e fatoração.
  • Fatorar para achar zeros facilmente:
y = x^{3}-x^{2}-2x = x\bigl(x^{2}-x-2\bigr)=x(x-2)(x+1).
  • Zeros: x=0,\; x=2,\; x=-1. Assim os cortes com o eixo x são (-1,0), (0,0) e (2,0). Ponto y-intercepto também (0,0).

Passo 7

Derivada primeira: monotonicidade e extremos relativos (passo a passo).
  • Calcular a derivada:
g'(x)=3x^{2}-2x-2.
  • Para encontrar extremos relativos, resolver g'(x)=0. É uma quadrática; aplicar fórmula de Bhaskara:
\Delta = (-2)^{2}-4\cdot 3\cdot(-2)=4+24=28.
x=\frac{2\pm\sqrt{28}}{6}=\frac{1\pm\sqrt{7}}{3}.
  • Valores numéricos aproximados (usar vírgula como separador):
x_{1}=\frac{1-\sqrt{7}}{3}\approx -0,5486,\qquad x_{2}=\frac{1+\sqrt{7}}{3}\approx 1,2153.
  • Interpretação via teste de sinais (ou avaliar g' em pontos): tomar x=-1, x=0, x=2:
g'(-1)=3(1)+2-2=3>0,\quad g'(0)=-2<0,\quad g'(2)=12-4-2=6>0.
Logo g' é positivo para x<x_{1}, negativo em (x_{1},x_{2}) e positivo para x>x_{2}. Conclusão: g cresce até x_{1}, tem máximo relativo em x_{1}, decresce até x_{2}, tem mínimo relativo em x_{2}, e cresce depois de x_{2}.

Passo 8

Calcular os valores de g nos extremos relativos e no ponto de inflexão (valores numéricos).
  • Avaliar g em x_{1} e x_{2} (usar a fatoração g(x)=x(x-2)(x+1) ou a forma cúbica diretamente). Aproximações (duas casas decimais são suficientes para esboço):
g(x_{1})\approx 0,6311\quad(\text{máximo relativo}),á
g(x_{2})\approx -2,1126\quad(\text{mínimo relativo}).í
  • Segunda derivada (concavidade e ponto de inflexão):
g''(x)=6x-2.
Resolver g''(x)=0 x=\tfrac{1}{3}. Avaliar g em x=\tfrac{1}{3}:
g\!\left(\tfrac{1}{3}\right)=\left(\tfrac{1}{3}\right)^{3}-\left(\tfrac{1}{3}\right)^{2}-2\cdot\tfrac{1}{3} =\frac{1}{27}-\frac{1}{9}-\frac{2}{3}=\frac{1-3-18}{27}=-\frac{20}{27}\approx -0,7407.
Portanto ponto de inflexão: \left(\tfrac{1}{3}, -\tfrac{20}{27}\right).

Passo 9

Comportamento para x\to\pm\infty e esboço final da cúbica.
  • Como o coeficiente de x^{3} é positivo, temos:
\lim_{x\to+\infty} (x^{3}-x^{2}-2x)=+\infty,\qquad \lim_{x\to-\infty} (x^{3}-x^{2}-2x)=-\infty.
  • Pontos-chave para marcar no rascunho: zeros (-1,0), (0,0), (2,0); máximo relativo aproximadamente (-0,5486,\;0,6311); mínimo relativo aproximadamente (1,2153,\;-2,1126); ponto de inflexão \left(\tfrac{1}{3}, -\tfrac{20}{27}\right).
  • Instrução de esboço: desenhar eixo; marcar os três zeros; entre -\infty e -1 a curva sobe vindo de -\infty, cruza em (-1,0), continua subindo até atingir o máximo em x\approx -0,55, depois desce cruzando em (0,0), continua descendo até o mínimo em x\approx 1,22, sobe novamente passando por (2,0) e indo para +\infty. Ajustar a curvatura antes/depois de x=\tfrac{1}{3} para refletir a mudança de concavidade.

Passo 10

Resumo de como desenhar concretamente (passo a passo para fazer no papel sem calculadora).
  • Para \;y=x^{2}+x\;:
    1. desenhar eixos, marcar (-1,0) e (0,0);
    2. marcar vértice \left(-\tfrac{1}{2}, -\tfrac{1}{4}\right) um pouco abaixo do eixo x;
    3. marcar mais um par de pontos como (1,2) e (-2,2) para forma;
    4. traçar uma parábola simétrica em torno de x=-\tfrac{1}{2} que abre para cima.
  • Para \;y=x^{3}-x^{2}-2x\;:
    1. marcar zeros (-1,0), (0,0), (2,0);
    2. marcar máximo em \approx(-0,55,0,63) e mínimo em \approx(1,22,-2,11);
    3. marcar inflexão em \left(\tfrac{1}{3}, -\tfrac{20}{27}\right)\approx(0,33,-0,74);
    4. ligar suavemente obedecendo à monotonicidade e concavidade já encontradas; prestar atenção ao fato de que a curva vai de -\infty para +\infty conforme x aumenta.

Resposta

Para y=x^{2}+x:
  • Zeros: (-1,0) e (0,0).
  • Vértice (mínimo): \left(-\tfrac{1}{2}, -\tfrac{1}{4}\right).
  • Monotonicidade: decresce em (-\infty,-\tfrac{1}{2}), cresce em (-\tfrac{1}{2},+\infty).
  • Concavidade: côncava para cima em todo \mathbb{R}.
  • Comportamento: y\to+\infty quando x\to\pm\infty.
Para y=x^{3}-x^{2}-2x:
  • Zeros: (-1,0), (0,0), (2,0).
  • Extremos relativos: máximo em x=\dfrac{1-\sqrt{7}}{3}\approx -0,5486 com y\approx 0,6311; mínimo em x=\dfrac{1+\sqrt{7}}{3}\approx 1,2153 com y\approx -2,1126.
  • Ponto de inflexão: \left(\dfrac{1}{3}, -\dfrac{20}{27}\right)\approx(0,33,-0,7407).
  • Monotonicidade: cresce em (-\infty,\tfrac{1-\sqrt{7}}{3}), decresce em (\tfrac{1-\sqrt{7}}{3},\tfrac{1+\sqrt{7}}{3}), cresce em (\tfrac{1+\sqrt{7}}{3},+\infty).
  • Comportamento: y\to -\infty quando x\to -\infty e y\to +\infty quando x\to +\infty.

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