esboce
e
Passo 1
O enunciado pede: esboçar (fazer um rascunho do gráfico de) as funções
e
Informações dadas: as expressões algébricas das duas funções. Não há mais dados (como uma figura já dada). O objetivo é obter os pontos e características suficientes para desenhar cada curva: interceptos com eixos, extremos relativos, concavidade, pontos de inflexão e comportamento para
.
Passo 2
Análise da função
— primeiros passos (domínio e interceptos).
- Domínio: todos os reais, isto é
. - Intersecção com o eixo
(tomar ):
Logo passa por
.
- Zeros (intersecção com o eixo
, resolver ):
Portanto pontos de corte com o eixo
:
e
.
Passo 3
Análise da forma e dos extremos da parábola
.
- Como é um polinômio quadrático com coeficiente de
positivo ( ), é uma parábola que abre para cima. Haverá um mínimo (vértice). - Coordenada
do vértice (fórmula da abscissa do vértice):
- Valor de
no vértice:
Vértice:
(mínimo).
Passo 4
Monotonicidade e concavidade da parábola
usando derivadas (explicação didática do uso das derivadas).
- Intuição rápida: a derivada
nos dá a inclinação da reta tangente; quando a função sobe, quando a função desce. A segunda derivada indica se a curva é côncava para cima ( ) ou para baixo ( ). - Calcular derivadas:
- Resolver
dá o ponto crítico:
que já é o vértice. Como
para todo
, a curva é côncava para cima em todo lugar e o ponto crítico é um mínimo.
- Monotonicidade:
para (função decresce à esquerda do vértice) e para (função cresce à direita).
Passo 5
Pontos auxiliares úteis para desenhar
e comportamento final.
- Valores fáceis para marcar:
- Comportamento nas extremidades:
- Instrução de esboço: desenhar eixo, marcar raízes
e , marcar vértice , marcar pontos e para referência; traçar uma parábola suave que abre para cima, simétrica em relação à reta vertical .
Passo 6
Agora a função cúbica
— zeros e fatoração.
- Fatorar para achar zeros facilmente:
- Zeros:
Assim os cortes com o eixo são , e . Ponto -intercepto também .
Passo 7
Derivada primeira: monotonicidade e extremos relativos (passo a passo).
- Calcular a derivada:
- Para encontrar extremos relativos, resolver
. É uma quadrática; aplicar fórmula de Bhaskara:
- Valores numéricos aproximados (usar vírgula como separador):
- Interpretação via teste de sinais (ou avaliar
em pontos): tomar , , :
Logo
é positivo para
, negativo em
e positivo para
. Conclusão:
cresce até
, tem máximo relativo em
, decresce até
, tem mínimo relativo em
, e cresce depois de
.
Passo 8
Calcular os valores de
nos extremos relativos e no ponto de inflexão (valores numéricos).
- Avaliar
em e (usar a fatoração ou a forma cúbica diretamente). Aproximações (duas casas decimais são suficientes para esboço):
- Segunda derivada (concavidade e ponto de inflexão):
Resolver
dá
. Avaliar
em
:
Portanto ponto de inflexão:
.
Passo 9
Comportamento para
e esboço final da cúbica.
- Como o coeficiente de
é positivo, temos:
- Pontos-chave para marcar no rascunho: zeros
, , ; máximo relativo aproximadamente ; mínimo relativo aproximadamente ; ponto de inflexão . - Instrução de esboço: desenhar eixo; marcar os três zeros; entre
e a curva sobe vindo de , cruza em , continua subindo até atingir o máximo em , depois desce cruzando em , continua descendo até o mínimo em , sobe novamente passando por e indo para . Ajustar a curvatura antes/depois de para refletir a mudança de concavidade.
Passo 10
Resumo de como desenhar concretamente (passo a passo para fazer no papel sem calculadora).
- Para
: - desenhar eixos, marcar
e ; - marcar vértice
um pouco abaixo do eixo ; - marcar mais um par de pontos como
e para forma; - traçar uma parábola simétrica em torno de
que abre para cima.
- desenhar eixos, marcar
- Para
: - marcar zeros
, , ; - marcar máximo em
e mínimo em ; - marcar inflexão em
; - ligar suavemente obedecendo à monotonicidade e concavidade já encontradas; prestar atenção ao fato de que a curva vai de
para conforme aumenta.
- marcar zeros
Resposta
Para
:
- Zeros:
e . - Vértice (mínimo):
. - Monotonicidade: decresce em
, cresce em . - Concavidade: côncava para cima em todo
. - Comportamento:
quando .
Para
:
- Zeros:
, , . - Extremos relativos: máximo em
com ; mínimo em com . - Ponto de inflexão:
. - Monotonicidade: cresce em
, decresce em , cresce em . - Comportamento:
quando e quando .