Calcule: z=\frac{-3+3 i}{1+i \sqrt{3}}.

Passo 1

O enunciado pede para calcular o número complexo
z=\frac{-3+3 i}{1+i \sqrt{3}}.
Informações relevantes dadas:
  • Numerador: -3+3i.
  • Denominador: 1+i\sqrt{3}.
    O que se quer: escrever z de forma padrão x+iy (ou seja, encontrar as partes real e imaginária).

Passo 2

Estratégia (explicada didaticamente): quando temos uma fração com número complexo no denominador, uma técnica padrão é multiplicar numerador e denominador pelo conjugado do denominador para “eliminar” a parte imaginária do denominador.
Definição: o conjugado de um complexo a+ib é a-ib. Produto do número pelo seu conjugado dá um real:
(a+ib)(a-ib)=a^2+b^2.
Aqui o denominador é 1+i\sqrt{3}, então o conjugado é 1-i\sqrt{3}. Vou multiplicar numerador e denominador por 1-i\sqrt{3}.

Passo 3

Multiplicando:
z=\frac{-3+3 i}{1+i \sqrt{3}}\cdot\frac{1-i\sqrt{3}}{1-i\sqrt{3}} =\frac{(-3+3i)(1-i\sqrt{3})}{(1+i\sqrt{3})(1-i\sqrt{3})}.
Calculo do denominador usando a fórmula do produto com o conjugado:
(1+i\sqrt{3})(1-i\sqrt{3})=1^2+(\sqrt{3})^2=1+3=4.

Passo 4

Agora o numerador: fazer a multiplicação termo a termo (distributiva). Vou desenvolver passo a passo:
(-3+3i)(1-i\sqrt{3}) = -3\cdot1 + (-3)\cdot(-i\sqrt{3}) + 3i\cdot1 + 3i\cdot(-i\sqrt{3}).
Calcule cada termo:
-3\cdot1 = -3, \qquad (-3)\cdot(-i\sqrt{3})=3i\sqrt{3},
3i\cdot1 = 3i, \qquad 3i\cdot(-i\sqrt{3}) = -3i^2\sqrt{3}.
Lembrando que i^2=-1, então -3i^2\sqrt{3} = -3(-1)\sqrt{3}=3\sqrt{3}.

Passo 5

Somando os termos reais e imaginários:
  • Partes reais: -3 + 3\sqrt{3} = 3\sqrt{3}-3.
  • Partes imaginárias: 3i\sqrt{3} + 3i = 3i(\sqrt{3}+1).
Assim o numerador fica
(-3+3i)(1-i\sqrt{3}) = 3\sqrt{3}-3 + 3i(\sqrt{3}+1).
Dividindo pelo denominador 4:
z = \frac{3\sqrt{3}-3}{4} + i\frac{3(\sqrt{3}+1)}{4}.
Podemos fatorar 3/4 se quiser:
z = \frac{3}{4}(\sqrt{3}-1) + i\,\frac{3}{4}(\sqrt{3}+1).

Resposta

\displaystyle \frac{3}{4}(\sqrt{3}-1)+i\,\frac{3}{4}(\sqrt{3}+1)

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