Calcule: z=\frac{-4}{\sqrt{3}-i}.

Passo 1

O enunciado pede calcular o número complexo
z=\frac{-4}{\sqrt{3}-i}.
Informações dadas:
  • O numerador é -4.
  • O denominador é \sqrt{3}-i.
    O que devemos fornecer: um valor explícito de z, preferencialmente na forma a+bi (parte real a e parte imaginária b).

Passo 2

Estratégia (por que funciona): quando uma fração tem um número complexo no denominador, uma técnica prática é multiplicar numerador e denominador pelo conjugado do denominador. O conjugado de um complexo a+bi é a-bi. Isso porque
(a+bi)(a-bi)=a^2+b^2,
que é um número real (uso aqui que i^2=-1). Multiplicando pelo conjugado tornamos o denominador real, o que facilita a divisão e a escrita na forma a+bi.

Passo 3

Identificar o conjugado do denominador. O denominador é \sqrt{3}-i. Seu conjugado é
\sqrt{3}+i.

Passo 4

Multiplicar numerador e denominador pelo conjugado:
z=\frac{-4}{\sqrt{3}-i}\cdot\frac{\sqrt{3}+i}{\sqrt{3}+i}=\frac{-4(\sqrt{3}+i)}{(\sqrt{3}-i)(\sqrt{3}+i)}.

Passo 5

Calcular o numerador expandido:
-4(\sqrt{3}+i)=-4\sqrt{3}-4i.

Passo 6

Calcular o denominador usando a identidade do conjugado e i^2=-1:
(\sqrt{3}-i)(\sqrt{3}+i)=(\sqrt{3})^2-i^2=3-(-1)=4.

Passo 7

Dividir termo a termo pelo denominador real 4:
z=\frac{-4\sqrt{3}-4i}{4}=-\sqrt{3}-i.

Passo 8

Verificação rápida (para ter certeza): multiplicar o resultado pelo denominador original deve dar o numerador original:
(-\sqrt{3}-i)(\sqrt{3}-i) = -3 +\sqrt{3}i -\sqrt{3}i + i^2 = -3 + 0 -1 = -4,
confirmando que \dfrac{-4}{\sqrt{3}-i}=-\sqrt{3}-i.

Resposta

-\sqrt{3}-i

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