CALCULE ∂ z / ∂ u E ∂ z / ∂ v PARA CADA UMA DAS SEGUINTES FUNÇÕES E EXPRESSE O RESULTADO EM FUNÇÃO SOMENTE DAS VARIÁVEIS u E v
z=f(x, y)=3 x^2-2 x y+y^2, x=x(u, v)=3 u+2 v, y=y(u, v)=4 u-v.

Passo 1

O enunciado define
z = f(x,y) = 3x^2 - 2xy + y^2,
x = x(u,v) = 3u + 2v e
y = y(u,v) = 4u - v.
Para encontrar partial z/partial u e partial z/partial v vamos usar a regra da cadeia, que pede as derivadas parciais de f em relação a x e y e as derivadas de x e y em relação a u e v.

Passo 2

Calculamos as derivadas parciais de f em relação a x e y:
fx = partial fpartial x = 6x - 2y,
fy = partial fpartial y = -2x + 2y

Passo 3

Aplicando regra da cadeia para partial z/partial u:
partial zpartial u = fx ,partial xpartial u + fy ,partial ypartial u
Como
partial xpartial u = 3, partial ypartial u = 4,
temos
partial zpartial u = (6x - 2y)cdot 3 + (-2x + 2y)cdot 4 = 18x - 6y - 8x + 8y = 10x + 2y
Substituindo x = 3u + 2v e y = 4u - v:
partial zpartial u = 10(3u + 2v) + 2(4u - v) = 30u + 20v + 8u - 2v = 38u + 18v

Passo 4

Agora para partial z/partial v:
partial zpartial v = fx ,partial xpartial v + fy ,partial ypartial v
Como
partial xpartial v = 2, partial ypartial v = -1,
segue
partial zpartial v = (6x - 2y)cdot 2 + (-2x + 2y)cdot(-1) = 12x - 4y + 2x - 2y = 14x - 6y
Substituindo x = 3u + 2v e y = 4u - v:
partial zpartial v = 14(3u + 2v) - 6(4u - v) = 42u + 28v - 24u + 6v = 18u + 34v

Resposta

partial zpartial u = 38u + 18v
partial zpartial v = 18u + 34v

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