Encontre a solução geral das equações:
y^prime prime-4 y^prime+6 y=3 x.

Passo 1

O enunciado pede a solução geral da equação diferencial linear de segunda ordem com coeficientes constantes
y'' - 4y' + 6y = 3x
Vamos usar o método de superposição: primeiro obter a solução da equação homogênea e depois uma solução particular por coeficientes indeterminados.

Passo 2

A parte homogênea é
y'' - 4y' + 6y = 0
A equação característica é
r^2 - 4r + 6 = 0
que tem raízes
r = 4 pm raiz16 - 242 = 2 pm iraiz2
Logo a solução homogênea é
yh = e^2xl(C1 cos(raiz2x) + C2 sin(raiz2x)r)

Passo 3

Para a solução particular tomamos o ansatz polinomial de grau 1,
yp = Ax + B
Então
yp' = A, yp'' = 0
Substituindo em
y'' - 4y' + 6y = 3x
temos
0 - 4A + 6(Ax + B) = 3x ;Longrightarrow; 6A,x + (6B - 4A) = 3x
Igualando coeficientes:
6A = 3 ;Longrightarrow; A = tfrac12,
6B - 4A = 0 ;Longrightarrow; 6B - 4cdottfrac12 = 0 ;Longrightarrow; B = tfrac13
Logo
yp = tfrac12 x + tfrac13

Passo 4

A solução geral é a soma das partes homogênea e particular:
y = yh + yp = e^2xl(C1 cos(raiz2x) + C2 sin(raiz2x)r) + tfrac12 x + tfrac13

Resposta

y(x) = e^2xl(C1 cos(raiz2x) + C2 sin(raiz2x)r) + tfrac12 x + tfrac13

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