Encontre a solução geral das equações:
y^prime prime+y=csc t.

Passo 1

O enunciado pede a solução geral da EDO
y'' + y = csc t
Trata-se de uma equação linear de segunda ordem com coeficientes constantes e termo não-homogêneo. Vamos primeiro obter a solução geral da equação homogênea associada e depois encontrar uma solução particular por variação de parâmetros.

Passo 2

A equação homogênea é
y'' + y = 0
A equação característica é
r^2 + 1 = 0 Longrightarrow r = pm i
Logo a solução geral da homogênea é
yh(t) = C1 cos t + C2 sin t

Passo 3

Para variar parâmetros, tomamos as soluções fundamentais
u1(t)=cos t, u2(t)=sin t
e o Wronskiano
W = cos t & sin t -,sin t & cos t = cos^2t + sin^2t = 1
A fórmula de variação de parâmetros dá
yp = -,u1(t)integral u2(t),csc tW,dt +u2(t)integral u1(t),csc tW,dt

Passo 4

Calculemos os dois integrais:
integral u2,csc t,dt = integral sin tcdotcsc t,dt = integral 1,dt = t,
integral u1,csc t,dt = integral cos tcdotcsc t,dt = integral cot t,dt = ln!l|sin tr|
Substituindo em yp, obtemos
yp(t) = -cos t,(t) +sin t,ln!l|sin tr| = -,tcos t + sin tln!l|sin tr|

Passo 5

A solução geral da EDO não-homogênea é
y(t) = yh(t) + yp(t) = C1cos t + C2sin t ;-; tcos t ;+;sin t,ln!l|sin tr|

Resposta

y(t) = C1cos t + C2sin t - tcos t + sin t ,ln!l|sin tr|

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