CALCULE ∂ z / ∂ u E ∂ z / ∂ v PARA CADA UMA DAS SEGUINTES FUNÇÕES E EXPRESSE O RESULTADO EM FUNÇÃO SOMENTE DAS VARIÁVEIS u E v
z=f(x, y)=2 x-yx+3 y, x(u, v)=e^2 u cos 3 v, y(u, v)=e^2 u sin 3 v.

Passo 1

O enunciado define
z = f(x,y) = 2x - yx + 3y,
com
x = e^2ucos(3v), y = e^2usin(3v),
e pede partial z/partial u e partial z/partial v.
O método será a regra da cadeia, isto é
partial zpartial u = fx,xu + fy,yu, partial zpartial v = fx,xv + fy,yv,
logo precisamos de fx, fy, xu, xv, yu e yv.

Passo 2

Calcular fx e fy por regra do quociente. Denote N=2x-y e D=x+3y. Então
partial fpartial x = Nx,D - N,DxD^2 = 2,(x+3y) - (2x-y)cdot1(x+3y)^2 = 7y(x+3y)^2,
partial fpartial y = Ny,D - N,DyD^2 = (-1)(x+3y) - (2x-y)cdot3(x+3y)^2 = -7x(x+3y)^2

Passo 3

Calcular as derivadas de x e y.
xu = partialpartial u(e^2ucos3v) = 2e^2ucos3v = 2x, yu = 2e^2usin3v = 2y,
xv = partialpartial v(e^2ucos3v) = -3e^2usin3v = -3y, yv = 3e^2ucos3v = 3x

Passo 4

Aplicar a regra da cadeia para partial z/partial u:
partial zpartial u = fx,xu + fy,yu = 7y(x+3y)^2cdot 2x + -7x(x+3y)^2cdot 2y = 14xy -14xy(x+3y)^2 = 0

Passo 5

Aplicar para partial z/partial v:
partial zpartial v = fx,xv + fy,yv = 7y(x+3y)^2,(-3y) + -7x(x+3y)^2,(3x) = -21,(y^2 + x^2)(x+3y)^2
Como
x^2+y^2 = e^4u, x+3y = e^2ul(cos3v + 3sin3vr),
vem
partial zpartial v = -21,e^4ue^4u,(cos3v+3sin3v)^2 = -21l(cos3v + 3sin3vr)^2

Resposta

partial zpartial u = 0
partial zpartial v = -21l(cos(3v) + 3sin(3v)r)^2

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