Calcules os limites (aqui a utilização da regra de L’Hôspital é permitida)
Passo 1
O que o enunciado pede: calcular o limite
Informações dadas/observações imediatas:
- A função envolvida é a potência com base
e expoente . - Quando
temos e . - Portanto a expressão tem a forma indeterminada do tipo
quando .
Passo 2
Estratégia (por que e o que vamos fazer): para limites do tipo
com
é muito conveniente tomar logaritmo natural. Se definirmos
então tomamos logaritmo para transformar potência em produto:
Explicação didática: transformar a potência em produto evita a indeterminação
e nos permite trabalhar com formas como
ou frações, onde a regra de L’Hôpital pode ser aplicada. Depois, se conseguirmos o limite de
, usamos a continuidade da exponencial para recuperar
:
desde que o limite de
exista (finito).
Passo 3
Analisar
e reescrever para aplicar L’Hôpital: temos
Ao tender
obtemos
e
, ou seja, uma indeterminação do tipo
. Para usar a regra de L’Hôpital convém converter isso numa razão. Reescrevemos:
Agora, quando
o numerador
e o denominador
. Assim temos uma forma
, adequada para aplicar L’Hôpital (ambas as partes divergem em módulo infinito).
Passo 4
Aplicar a regra de L’Hôpital: diferenciamos numerador e denominador em relação a
.
Derivada do numerador:
Derivada do denominador (usar a regra da cadeia em
):
Pelo teorema de L’Hôpital,
Passo 5
Simplificar a expressão obtida após L’Hôpital:
Agora fatoramos
. Assim
e substituindo,
Podemos ainda notar que
, mas não é necessário. Agora calculamos o limite quando
:
- O fator
no numerador tende a . - O fator
tende a . - O denominador
tende a .
Portanto
Passo 6
Interpretar o resultado e voltar da transformação logarítmica: achamos
Como
e a função exponencial é contínua, temos