Calcules os limites (aqui a utilização da regra de L’Hôspital é permitida)
\lim _{x \rightarrow 0^{+}} x^{3 x^{2}+2 x}

Passo 1

O que o enunciado pede: calcular o limite
\lim_{x\to0^{+}} x^{3x^{2}+2x}.
Informações dadas/observações imediatas:
  • A função envolvida é a potência com base x e expoente 3x^{2}+2x.
  • Quando x\to0^{+} temos \;x\to0^{+}\; e \;3x^{2}+2x\to0.
  • Portanto a expressão tem a forma indeterminada do tipo 0^{0} quando x\to0^{+}.

Passo 2

Estratégia (por que e o que vamos fazer): para limites do tipo f(x)^{g(x)} com f(x)>0 é muito conveniente tomar logaritmo natural. Se definirmos
y(x)=x^{3x^{2}+2x},
então tomamos logaritmo para transformar potência em produto:
\ln y(x)=(3x^{2}+2x)\,\ln x.
Explicação didática: transformar a potência em produto evita a indeterminação 0^{0} e nos permite trabalhar com formas como 0\cdot(-\infty) ou frações, onde a regra de L’Hôpital pode ser aplicada. Depois, se conseguirmos o limite de \ln y(x), usamos a continuidade da exponencial para recuperar y(x):
\lim_{x\to0^{+}} y(x)=\exp\!\Big(\lim_{x\to0^{+}}\ln y(x)\Big),
desde que o limite de \ln y(x) exista (finito).

Passo 3

Analisar \ln y(x) e reescrever para aplicar L’Hôpital: temos
\ln y(x)=(3x^{2}+2x)\,\ln x.
Ao tender x\to0^{+} obtemos (3x^{2}+2x)\to0 e \ln x\to -\infty, ou seja, uma indeterminação do tipo 0\cdot(-\infty). Para usar a regra de L’Hôpital convém converter isso numa razão. Reescrevemos:
\ln y(x)=\frac{\ln x}{\dfrac{1}{3x^{2}+2x}}.
Agora, quando x\to0^{+} o numerador \ln x\to -\infty e o denominador \dfrac{1}{3x^{2}+2x}\to +\infty. Assim temos uma forma \dfrac{-\infty}{+\infty}, adequada para aplicar L’Hôpital (ambas as partes divergem em módulo infinito).

Passo 4

Aplicar a regra de L’Hôpital: diferenciamos numerador e denominador em relação a x.
Derivada do numerador:
\frac{d}{dx}(\ln x)=\frac{1}{x}.
Derivada do denominador (usar a regra da cadeia em (3x^{2}+2x)^{-1}):
\frac{d}{dx}\!\left(\frac{1}{3x^{2}+2x}\right)=-\frac{6x+2}{(3x^{2}+2x)^{2}}.
Pelo teorema de L’Hôpital,
\lim_{x\to0^{+}}\ln y(x) =\lim_{x\to0^{+}}\frac{\ln x}{\dfrac{1}{3x^{2}+2x}} =\lim_{x\to0^{+}}\frac{\dfrac{1}{x}}{-\dfrac{6x+2}{(3x^{2}+2x)^{2}}}.

Passo 5

Simplificar a expressão obtida após L’Hôpital:
\frac{\dfrac{1}{x}}{-\dfrac{6x+2}{(3x^{2}+2x)^{2}}} = -\frac{(3x^{2}+2x)^{2}}{x(6x+2)}.
Agora fatoramos 3x^{2}+2x=x(3x+2). Assim
(3x^{2}+2x)^{2}=x^{2}(3x+2)^{2},
e substituindo,
-\frac{(3x^{2}+2x)^{2}}{x(6x+2)} = -\frac{x^{2}(3x+2)^{2}}{x(6x+2)} = -\frac{x(3x+2)^{2}}{6x+2}.
Podemos ainda notar que 6x+2=2(3x+1), mas não é necessário. Agora calculamos o limite quando x\to0^{+}:
  • O fator x no numerador tende a 0.
  • O fator (3x+2)^{2} tende a 2^{2}=4.
  • O denominador 6x+2 tende a 2.
    Portanto
\lim_{x\to0^{+}}\left(-\frac{x(3x+2)^{2}}{6x+2}\right)= -\frac{0\cdot 4}{2}=0.

Passo 6

Interpretar o resultado e voltar da transformação logarítmica: achamos
\lim_{x\to0^{+}}\ln y(x)=0.
Como y(x)=x^{3x^{2}+2x} e a função exponencial é contínua, temos
\lim_{x\to0^{+}} y(x)=\exp\!\Big(\lim_{x\to0^{+}}\ln y(x)\Big)=\exp(0)=1.

Resposta

1

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