Calcules os limites (aqui a utilização da regra de L’Hôspital é permitida)
\lim _{x \rightarrow+\infty} \frac{\ln x}{x^{3}}

Passo 1

O que o enunciado pede: calcular o valor do limite
\lim_{x\to +\infty} \frac{\ln x}{x^{3}}.
Informações dadas: a função do numerador é \ln x e a do denominador é x^{3}. O ponto de interesse é x\to+\infty. Não há outras condições ou parâmetros.

Passo 2

Verificar a forma indeterminada: calcular os limites separados quando x\to+\infty.
\lim_{x\to+\infty}\ln x = +\infty, \qquad \lim_{x\to+\infty}x^{3} = +\infty.
Portanto a expressão tem a forma indeterminada \dfrac{+\infty}{+\infty}. Quando aparece essa forma indeterminada, uma ferramenta clássica é a regra de L’Hôspital (permitida no enunciado). Vou usar essa regra.
Breve lembrete da regra de L’Hôspital (em palavras simples): se temos \lim_{x\to a} \dfrac{f(x)}{g(x)} com forma \dfrac{0}{0} ou \dfrac{\infty}{\infty}, e f,g são diferenciáveis perto de a com g'(x)\neq0 (exceto talvez em a), então
\lim_{x\to a}\frac{f(x)}{g(x)}=\lim_{x\to a}\frac{f'(x)}{g'(x)}
quando o limite à direita existe (ou é \pm\infty). Aqui a=+\infty e as condições são satisfeitas para x>0.

Passo 3

Calcular as derivadas do numerador e do denominador e aplicar L’Hôspital:
\text{numerador: }\frac{d}{dx}\big(\ln x\big)=\frac{1}{x}, \qquad \text{denominador: }\frac{d}{dx}\big(x^{3}\big)=3x^{2}.
Pela regra de L’Hôspital,
\lim_{x\to+\infty}\frac{\ln x}{x^{3}} = \lim_{x\to+\infty}\frac{1/x}{3x^{2}}.

Passo 4

Simplificar a expressão obtida:
\frac{1/x}{3x^{2}}=\frac{1}{3x^{3}}.
Agora avaliar o limite:
\lim_{x\to+\infty}\frac{1}{3x^{3}}.
Aqui o denominador 3x^{3} tende a +\infty quando x\to+\infty, então a fração tende a 0. Em termos simples: uma constante dividida por uma quantidade que cresce sem limite vai a zero.

Passo 5

Interpretação alternativa e reforço didático (rápido): o logaritmo cresce muito mais devagar que qualquer potência positiva de x. Por isso, \ln x é “dominada” por x^{3} quando x fica grande, e a razão \ln x/x^{3} vai a zero. A aplicação de L’Hôspital mostrou isso de forma direta e curta.

Resposta

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