Calcules os limites (aqui a utilização da regra de L’Hôspital é permitida)
Passo 1
O que o enunciado pede: calcular o valor do limite
Informações dadas: a função do numerador é
e a do denominador é
. O ponto de interesse é
. Não há outras condições ou parâmetros.
Passo 2
Verificar a forma indeterminada: calcular os limites separados quando
.
Portanto a expressão tem a forma indeterminada
. Quando aparece essa forma indeterminada, uma ferramenta clássica é a regra de L’Hôspital (permitida no enunciado). Vou usar essa regra.
Breve lembrete da regra de L’Hôspital (em palavras simples): se temos
com forma
ou
, e
são diferenciáveis perto de
com
(exceto talvez em
), então
quando o limite à direita existe (ou é
). Aqui
e as condições são satisfeitas para
.
Passo 3
Calcular as derivadas do numerador e do denominador e aplicar L’Hôspital:
Pela regra de L’Hôspital,
Passo 4
Simplificar a expressão obtida:
Agora avaliar o limite:
Aqui o denominador
tende a
quando
, então a fração tende a
. Em termos simples: uma constante dividida por uma quantidade que cresce sem limite vai a zero.
Passo 5
Interpretação alternativa e reforço didático (rápido): o logaritmo cresce muito mais devagar que qualquer potência positiva de
. Por isso,
é “dominada” por
quando
fica grande, e a razão
vai a zero. A aplicação de L’Hôspital mostrou isso de forma direta e curta.
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