Calcules os limites (aqui a utilização da regra de L’Hôspital é permitida)
\lim _{x \rightarrow 0^{+}}\left(x^{2}+2 x\right)^{x}

Passo 1

O enunciado pede calcular o limite
\lim_{x\to 0^{+}}\left(x^{2}+2x\right)^{x}.
Informações que temos e que são úteis:
  • Para x\to 0^{+} a base x^{2}+2x tende a 0.
  • O expoente x tende a 0.
  • Portanto a expressão tem a forma indeterminada 0^{0}, que é ambígua e exige um tratamento específico para avaliar o limite.

Passo 2

Estratégia (explicada passo a passo): quando aparece uma potência cujo limite tem forma indeterminada 0^{0}, um truque padrão é colocar a expressão dentro de um logaritmo natural para transformar a potência em um produto, calcular o limite do logaritmo e depois tomar exponencial do resultado. Para isso, defino
y(x)=\left(x^{2}+2x\right)^{x}.
Como y(x)>0 para x>0, podemos aplicar o logaritmo natural sem problema e obter
\ln y(x)=x\ln\!\big(x^{2}+2x\big).
O objetivo passa a ser calcular
\lim_{x\to0^{+}}\ln y(x)=\lim_{x\to0^{+}}x\ln\!\big(x^{2}+2x\big).

Passo 3

Simplificação do logaritmo para separar termos fáceis de tratar. Observe que
x^{2}+2x = x(x+2),
logo, usando propriedades do logaritmo,
\ln\!\big(x^{2}+2x\big)=\ln x + \ln(x+2).
Substituindo em \ln y(x) vem
\ln y(x)=x\ln x + x\ln(x+2).
Portanto
\lim_{x\to0^{+}}\ln y(x)=\lim_{x\to0^{+}}x\ln x \;+\; \lim_{x\to0^{+}}x\ln(x+2),
desde que ambos os limites laterais existam (ou um seja finito e o outro convergente).

Passo 4

Cálculo do primeiro termo \displaystyle\lim_{x\to0^{+}}x\ln x. Este é um limite clássico do tipo 0\cdot(-\infty). Para aplicar L’Hôpital de forma direta, escrevemos
x\ln x=\frac{\ln x}{1/x}.
Ao considerar x\to0^{+} temos \ln x\to -\infty e 1/x\to +\infty, ou seja a forma \dfrac{-\infty}{+\infty}, adequada para L’Hôpital. Aplicando L’Hôpital derivando numerador e denominador em relação a x:
  • derivada do numerador \ln x é \dfrac{1}{x};
  • derivada do denominador 1/x é -\dfrac{1}{x^{2}}.
    Assim
\lim_{x\to0^{+}}\frac{\ln x}{1/x} = \lim_{x\to0^{+}}\frac{\tfrac{1}{x}}{-\tfrac{1}{x^{2}}} = \lim_{x\to0^{+}}(-x) = 0.
Portanto
\lim_{x\to0^{+}}x\ln x = 0.
(Pequena intuição: \ln x diverge para -\infty, mas o fator x que multiplica vai a zero rápido o suficiente para anular essa divergência.)

Passo 5

Cálculo do segundo termo \displaystyle\lim_{x\to0^{+}}x\ln(x+2). Aqui \ln(x+2) é contínua em x=0 e vale \ln 2 no ponto x=0. Logo \ln(x+2) permanece limitada perto de 0 (mais precisamente \ln(x+2)\to\ln 2). Multiplicar uma função limitada por x\to0 dá zero. Formalmente,
\lim_{x\to0^{+}}x\ln(x+2) = \left(\lim_{x\to0^{+}}x\right)\cdot\left(\lim_{x\to0^{+}}\ln(x+2)\right) = 0\cdot\ln 2 = 0.

Passo 6

Somando os dois resultados obtidos nos Passos 4 e 5:
\lim_{x\to0^{+}}\ln y(x) = 0 + 0 = 0.
Como y(x)>0 sempre, podemos recuperar o limite original tomando exponencial:
\lim_{x\to0^{+}}y(x) = \lim_{x\to0^{+}}e^{\ln y(x)} = e^{\lim_{x\to0^{+}}\ln y(x)} = e^{0}.

Resposta

1

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