Calcules os limites (aqui a utilização da regra de L’Hôspital é permitida)
Passo 1
O enunciado pede calcular o limite
Informações que temos e que são úteis:
- Para
a base tende a . - O expoente
tende a . - Portanto a expressão tem a forma indeterminada
, que é ambígua e exige um tratamento específico para avaliar o limite.
Passo 2
Estratégia (explicada passo a passo): quando aparece uma potência cujo limite tem forma indeterminada
, um truque padrão é colocar a expressão dentro de um logaritmo natural para transformar a potência em um produto, calcular o limite do logaritmo e depois tomar exponencial do resultado. Para isso, defino
Como
para
, podemos aplicar o logaritmo natural sem problema e obter
O objetivo passa a ser calcular
Passo 3
Simplificação do logaritmo para separar termos fáceis de tratar. Observe que
logo, usando propriedades do logaritmo,
Substituindo em
vem
Portanto
desde que ambos os limites laterais existam (ou um seja finito e o outro convergente).
Passo 4
Cálculo do primeiro termo
. Este é um limite clássico do tipo
. Para aplicar L’Hôpital de forma direta, escrevemos
Ao considerar
temos
e
, ou seja a forma
, adequada para L’Hôpital. Aplicando L’Hôpital derivando numerador e denominador em relação a
:
- derivada do numerador
é ; - derivada do denominador
é .
Assim
Portanto
(Pequena intuição:
diverge para
, mas o fator
que multiplica vai a zero rápido o suficiente para anular essa divergência.)
Passo 5
Cálculo do segundo termo
. Aqui
é contínua em
e vale
no ponto
. Logo
permanece limitada perto de
(mais precisamente
). Multiplicar uma função limitada por
dá zero. Formalmente,
Passo 6
Somando os dois resultados obtidos nos Passos 4 e 5:
Como
sempre, podemos recuperar o limite original tomando exponencial: