Esboce os gráficos das seguintes funções f(x), onde
f(x)=\frac{x^{2}-8}{x-3}
Passo 1
O enunciado dá a função
f(x)=\frac{x^{2}-8}{x-3}
e pede que esbocemos o gráfico de f. Para isso vamos extrair e listar todas as informações que precisaremos desenhar: domínio da função, assíntotas (verticais e oblíquas), interceptos com os eixos, extremos locais (se existirem) e concavidade/curvatura. Essas informações bastam para um esboço fiel.
Passo 2
Primeiro simplificar a função por divisão polinomial para obter uma forma que facilita interpretação. Vamos dividir x^{2}-8 por x-3.
Faço a divisão:
\frac{x^{2}-8}{x-3}=x+3+\frac{1}{x-3}.
Explicando passo a passo a divisão: dividir x^{2} por x dá x. Multiplicando x(x-3)=x^{2}-3x e subtraindo do numerador sobra 3x-8. Dividindo 3x por x dá 3. Multiplicando 3(x-3)=3x-9 e subtraindo sobra 1. Logo o quociente é x+3 e o resto 1, por isso \dfrac{1}{x-3} aparece.
Passo 3
Domínio e assíntota vertical:
O denominador é zero em x=3. O numerador em x=3 é 3^{2}-8=1\neq0. Portanto não há buraco; existe uma assíntota vertical em x=3.
Domínio: \mathbb{R}\setminus\{3\}.
Breve lembrete didático: sempre que o denominador anula e o numerador não, a função tende a \pm\infty perto desse ponto — é uma assíntota vertical.
Passo 4
Assíntota oblíqua (reta que a função se aproxima quando |x|\to\infty):
A forma obtida \,f(x)=x+3+\dfrac{1}{x-3}\, mostra imediatamente o quociente linear x+3. Como
Classificação dos extremos (teste da segunda derivada).
Calculamos a segunda derivada a partir de f'(x). Derivando f'(x)=1-(x-3)^{-2} obtemos
f''(x)=2(x-3)^{-3}=\frac{2}{(x-3)^{3}}.
Avaliações:
f''(2)=\frac{2}{(2-3)^{3}}=\frac{2}{(-1)^{3}}=-2<0\quad\Rightarrow\quad \text{máximo local em }(2,4).á
f''(4)=\frac{2}{(4-3)^{3}}=\frac{2}{1}=2>0\quad\Rightarrow\quad \text{mínimo local em }(4,8).í
Observação importante (didática): esses extremos são locais e ficam em ramos diferentes do gráfico (à esquerda e à direita de x=3), porque x=3 separa o domínio.
Passo 8
Monotonicidade (sinal de f'). Como
f'(x)=1-\frac{1}{(x-3)^{2}},
note que \dfrac{1}{(x-3)^{2}}>0 sempre. Então:
Se |x-3|>1 então (x-3)^{2}>1 e \dfrac{1}{(x-3)^{2}}<1, logo f'(x)>0: função crescente.
Se |x-3|<1 então (x-3)^{2}<1 e \dfrac{1}{(x-3)^{2}}>1, logo f'(x)<0: função decrescente.
Pelos pontos críticos x=2 e x=4 (onde f'=0) obtemos os intervalos:
Crescente em (-\infty,2).
Decrescente em (2,3).
Decrescente em (3,4).
Crescente em (4,\infty).
Passo 9
Concavidade e possíveis pontos de inflexão:
Usando f''(x)=\dfrac{2}{(x-3)^{3}}:
Para x<3 temos (x-3)^{3}<0 então f''(x)<0: concavidade para baixo em (-\infty,3).
Para x>3 temos (x-3)^{3}>0 então f''(x)>0: concavidade para cima em (3,\infty).
Não há ponto de inflexão no domínio porque x=3 não pertence ao domínio; a concavidade muda de sinal “através” de x=3, mas x=3 é assíntota vertical.
Passo 10
Comportamento junto à assíntota vertical e no infinito:
Ao aproximar x\to3^{-}: x-3 é negativo e pequeno, então \dfrac{1}{x-3}\to -\infty. Assim f(x)\to -\infty quando x\to3^{-}.
Ao aproximar x\to3^{+}: \dfrac{1}{x-3}\to +\infty. Assim f(x)\to +\infty quando x\to3^{+}.
Para |x| grandes, f(x)\approx x+3 porque \dfrac{1}{x-3}\to0. Portanto os ramos se aproximam da reta y=x+3 para x\to\pm\infty.
Passo 11
Instruções práticas para esboçar (como desenhar no papel):
Trace a assíntota vertical x=3 (linha pontilhada) e a assíntota oblíqua y=x+3.
Marque os interceptos: x=\pm 2\sqrt{2} no eixo x e y=\dfrac{8}{3} no eixo y.
Marque os extremos locais: máximo em (2,4) (ramo à esquerda de x=3) e mínimo em (4,8) (ramo à direita).
Use monotonicidade e concavidade: no lado esquerdo de x=3 o gráfico cresce até (2,4) (concavo para baixo), depois decresce para -\infty quando se aproxima de x=3^{-}. No lado direito, vem de +\infty em x=3^{+}, decresce até (4,8) (concavo para cima) e depois cresce seguindo a reta y=x+3.
Lembre-se que o gráfico nunca cruza a reta assíntota y=x+3 neste caso, porque f(x)-(x+3)=\dfrac{1}{x-3}\neq0 para todo x.
Resposta
Domínio: \mathbb{R}\setminus\{3\}
Assíntota vertical: x=3
Assíntota oblíqua: y=x+3
Interceptos: x=\pm 2\sqrt{2} e y=\dfrac{8}{3}
Pontos críticos e extremos: máximo local em (2,4), mínimo local em (4,8)
Monotonicidade: crescente em (-\infty,2), decrescente em (2,3), decrescente em (3,4), crescente em (4,\infty)
Concavidade: concava para baixo em (-\infty,3), côncava para cima em (3,\infty)
Limites na assíntota: \displaystyle\lim_{x\to3^-}f(x)=-\infty,\qquad \lim_{x\to3^+}f(x)=+\infty