Cálculo de Altura e Volume em Prisma Oblíquo (Ângulo):
Em um prisma oblíquo, a altura ( h ) é dada por h=a \cdot \cos \theta, onde a é a aresta lateral e \theta é o ângulo que a aresta lateral faz com o plano da base. Se um prisma tem aresta lateral a=10 \mathrm{~cm} e esta forma um ângulo de 60^{\circ} \operatorname{com} a base ( \cos 60^{\circ}=0,5 ), determine:
a) A altura (h) do prisma.
b) Se a área da base ( B ) é 9 \sqrt{3} \mathrm{~cm}^{2}, calcule o volume ( V ) utilizando a fórmula V=B \cdot h.

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e pede duas coisas claras:
  • Dados: a aresta lateral a=10\\ \mathrm{cm} e o ângulo com a base \theta=60^\circ. Foi informado que \cos 60^\circ = 0,5.
  • Dado adicional: a área da base é B=9\sqrt{3}\\ \mathrm{cm}^2.
  • Pedidos: (a) determinar a altura h do prisma; (b) calcular o volume V usando V=B\cdot h.

Passo 2

Entendendo a fórmula da altura: a relação \displaystyle h = a\cdot\cos\theta vem da projeção da aresta lateral sobre a direção perpendicular à base. Pense assim: se você tem um triângulo retângulo formado pela aresta lateral a, sua projeção vertical (a altura h) é o cateto adjacente ao ângulo \theta; na trigonometria do triângulo retângulo, o cosseno é definido por
\cos\theta = \frac{\text{cateto adjacente}}{\text{hipotenusa}}.
Aqui o cateto adjacente é h e a hipotenusa é a, então
\cos\theta = \frac{h}{a}\quad\Longrightarrow\quad h = a\cdot\cos\theta.
Explicação das variáveis: \theta é o ângulo entre a aresta lateral e o plano da base, a é o comprimento da aresta lateral, e h é a altura efetiva — medida perpendicular ao plano da base.

Passo 3

Calcular a altura substituindo os valores dados. Usamos a=10\\ \mathrm{cm} e \cos 60^\circ = 0,5:
h = a\cdot\cos\theta = 10\cdot 0,5.
Agora multiplicamos passo a passo: 10\cdot 0,5 = 5. Portanto
h = 5\\ \mathrm{cm}.
Observação sobre unidades: a está em \mathrm{cm} e \cos\theta é adimensional, logo h fica em \mathrm{cm}.

Passo 4

Fórmula do volume do prisma: para qualquer prisma o volume é a área da base vezes a altura, ou seja
V = B\cdot h.
Aqui B tem unidade de \mathrm{cm}^2 e h de \mathrm{cm}, logo V terá unidade de \mathrm{cm}^3, consistente com volume.

Passo 5

Substituir B e h na fórmula do volume. Dado B=9\sqrt{3}\\ \mathrm{cm}^2 (peguei esse valor do enunciado) e o h encontrado:
V = B\cdot h = 9\sqrt{3}\cdot 5.
Multiplicando os números:
9\sqrt{3}\cdot 5 = (9\cdot 5)\sqrt{3} = 45\sqrt{3}.
Portanto
V = 45\sqrt{3}\\ \mathrm{cm}^3.
Se você quiser uma versão aproximada para intuir o tamanho, \sqrt{3}\approx 1,732, então V\approx 45\times 1,732 \approx 77,94\\ \mathrm{cm}^3 (isso é apenas uma aproximação; a resposta exata é 45\sqrt{3}\\ \mathrm{cm}^3).

Passo 6

Verificação rápida: unidades conferem ( \mathrm{cm}^2\cdot\mathrm{cm}=\mathrm{cm}^3) e os cálculos foram apenas multiplicações simples usando o valor de \cos 60^\circ. Pronto — fizemos a projeção trigonométrica para achar a altura e depois aplicamos a fórmula padrão do volume do prisma. Força aí — você já tem os resultados exatos e a lógica para aplicar em questões parecidas!

Resposta

h = 5\\ \mathrm{cm}
V = 45\sqrt{3}\\ \mathrm{cm}^3

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