Cálculo de Altura e Volume em Prisma Oblíquo (Ângulo):
Em um prisma oblíquo, a altura (
) é dada por
, onde
é a aresta lateral e
é o ângulo que a aresta lateral faz com o plano da base. Se um prisma tem aresta lateral
e esta forma um ângulo de
a base (
), determine:
a) A altura (h) do prisma.
b) Se a área da base (
) é
, calcule o volume (
) utilizando a fórmula
.
a) A altura (h) do prisma.
b) Se a área da base (
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações e pede duas coisas claras:
- Dados: a aresta lateral
e o ângulo com a base . Foi informado que . - Dado adicional: a área da base é
. - Pedidos: (a) determinar a altura
do prisma; (b) calcular o volume usando .
Passo 2
Entendendo a fórmula da altura: a relação
vem da projeção da aresta lateral sobre a direção perpendicular à base. Pense assim: se você tem um triângulo retângulo formado pela aresta lateral
, sua projeção vertical (a altura
) é o cateto adjacente ao ângulo
; na trigonometria do triângulo retângulo, o cosseno é definido por
Aqui o cateto adjacente é
e a hipotenusa é
, então
Explicação das variáveis:
é o ângulo entre a aresta lateral e o plano da base,
é o comprimento da aresta lateral, e
é a altura efetiva — medida perpendicular ao plano da base.
Passo 3
Calcular a altura substituindo os valores dados. Usamos
e
:
Agora multiplicamos passo a passo:
. Portanto
Observação sobre unidades:
está em
e
é adimensional, logo
fica em
.
Passo 4
Fórmula do volume do prisma: para qualquer prisma o volume é a área da base vezes a altura, ou seja
Aqui
tem unidade de
e
de
, logo
terá unidade de
, consistente com volume.
Passo 5
Substituir
e
na fórmula do volume. Dado
(peguei esse valor do enunciado) e o
encontrado:
Multiplicando os números:
Portanto
Se você quiser uma versão aproximada para intuir o tamanho,
, então
(isso é apenas uma aproximação; a resposta exata é
).
Passo 6
Verificação rápida: unidades conferem (
) e os cálculos foram apenas multiplicações simples usando o valor de
. Pronto — fizemos a projeção trigonométrica para achar a altura e depois aplicamos a fórmula padrão do volume do prisma. Força aí — você já tem os resultados exatos e a lógica para aplicar em questões parecidas!