Determine o limite, se existir, ou mostre que o limite não existe
\quad \lim _{(x, y) \rightarrow(0,0)} x \operatorname{sen}\left(\frac{1}{x^{2}+y^{2}}\right)

Passo 1

O enunciado pede para determinar, se existir, o limite
\lim_{(x,y)\to(0,0)} x\sin\!\left(\frac{1}{x^{2}+y^{2}}\right).
Informações relevantes dadas:
  • A função considerada é f(x,y)=x\sin\!\left(\frac{1}{x^{2}+y^{2}}\right), que está bem definida para todos os pares (x,y) com x^{2}+y^{2}\neq 0 (ou seja, em todos os pontos exceto a origem).
  • Queremos estudar o comportamento de f(x,y) quando o par (x,y) se aproxima de (0,0).
  • Uma propriedade útil que já conhecemos (ou vamos usar) é que a função seno é limitada: para todo argumento real t vale -1\le \sin t\le 1.

Passo 2

Vamos transformar essa informação limitada da função seno em uma desigualdade para f(x,y). Primeiro use a desigualdade básica para o seno:
\text{para todo } t\in\mathbb{R}\quad -1\le \sin t\le 1.
Aplicando a isso com t=\dfrac{1}{x^{2}+y^{2}} (quando definido), obtemos
\left|\sin\!\left(\frac{1}{x^{2}+y^{2}}\right)\right|\le 1.
Multiplicando pelo fator x em módulo, temos
\left|x\sin\!\left(\frac{1}{x^{2}+y^{2}}\right)\right|\le |x|.
Aqui expliquei cada passo: usei que multiplicar uma desigualdade por um número não-negativo (aqui |x|) preserva a desigualdade, e que o módulo do produto é o produto dos módulos.

Passo 3

Agora relaciono |x| com a distância ao ponto (0,0). Defina
r=\sqrt{x^{2}+y^{2}},
que é a distância euclidiana de (x,y) até (0,0). É evidente que
|x|\le \sqrt{x^{2}+y^{2}}=r,
pois x^{2}\le x^{2}+y^{2} implica |x|\le r. Juntando com a desigualdade do passo anterior:
\left|x\sin\!\left(\frac{1}{x^{2}+y^{2}}\right)\right|\le |x|\le r.

Passo 4

Agora aplicamos um argumento do tipo “teorema do confronto” (squeeze theorem). Como para todos os pontos (próximos da origem, exceto a origem) vale
-\;r \le -|x| \le x\sin\!\left(\frac{1}{x^{2}+y^{2}}\right) \le |x| \le r,
temos que
\left|x\sin\!\left(\frac{1}{x^{2}+y^{2}}\right)\right|\le r.
Como r=\sqrt{x^{2}+y^{2}}\to 0 quando (x,y)\to(0,0), segue pelo teorema do confronto que
\lim_{(x,y)\to(0,0)} x\sin\!\left(\frac{1}{x^{2}+y^{2}}\right)=0.
Explicando o teorema do confronto: se uma função g(x,y) satisfaz |g(x,y)|\le h(x,y) e h(x,y)\to 0, então g(x,y)\to 0. Aqui g é a função dada e h(x,y)=r.

Passo 5

Para ficar bem convencido, apresento também uma prova estilo épsilon–delta bem direta (útil para prova em prova escrita): seja \varepsilon>0. Escolha \delta=\varepsilon. Se \sqrt{x^{2}+y^{2}}<\delta então, pelas desigualdades anteriores,
\left|x\sin\!\left(\frac{1}{x^{2}+y^{2}}\right)\right|\le |x|\le \sqrt{x^{2}+y^{2}}<\delta=\varepsilon.
Isso mostra a definição formal do limite: para todo \varepsilon>0 existe \delta>0 (aqui \delta=\varepsilon) tal que se 0<\sqrt{x^{2}+y^{2}}<\delta então |f(x,y)-0|<\varepsilon. Portanto o limite é 0.

Passo 6

Uma observação geométrica/intuïtiva (opcional): em coordenadas polares x=r\cos\theta e x^{2}+y^{2}=r^{2}, a função fica
f(r,\theta)=r\cos\theta\;\sin\!\left(\frac{1}{r^{2}}\right).
Como |\cos\theta|\le 1 e |\sin(1/r^{2})|\le 1, tem-se |f(r,\theta)|\le r, o que vai a 0 quando r\to 0. Isso mostra também por que o limite não depende do caminho (do ângulo \theta).

Resposta

0

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