Nota: Adote a aceleração da gravidade
.
Um paraquedista em queda livre sofre uma força de arrasto aerodinâmico (resistência do ar) modelada matematicamente pela equação vetorial em módulo
, onde
é a velocidade de queda do paraquedista e
é um coeficiente constante positivo de arrasto. Sabendo que o sistema possui massa total
, qual é a expressão analítica da velocidade terminal
máxima atingida no decurso da queda?
a)
b)
c)
d)
e)
Um paraquedista em queda livre sofre uma força de arrasto aerodinâmico (resistência do ar) modelada matematicamente pela equação vetorial em módulo
a)
b)
c)
d)
e)
Passo 1
O enunciado pede a expressão analítica da velocidade terminal máxima atingida por um paraquedista sujeito ao peso e à resistência do ar. Informações dadas:
- A força de arrasto (resistência do ar) tem módulo
, com constante e velocidade de queda. - A massa total do sistema é
. - A aceleração da gravidade vale
(valor adotado pelo enunciado).
O que se quer: a expressão de, a velocidade terminal máxima atingida no decurso da queda.
Passo 2
Modelagem dinâmica (escrever as forças e a equação do movimento).
- Força peso (direção vertical para baixo):
. - Força de arrasto (direção para cima, oposta ao movimento):
.
Escolho convenção: direção para baixo como positiva. Pela segunda lei de Newton, soma das forças iguais a massa vezes aceleração:
Explicação:
é a massa vezes a aceleração vertical;
puxa para baixo e
puxa para cima (por isso o sinal negativo).
Passo 3
Definição de velocidade terminal e condição matemática.
- Velocidade terminal
é o valor de quando o movimento atinge regime permanente (não há mais aceleração), isto é quando .
Aplicar essa condição na equação do movimento:
Isolando
:
Tomando a raiz quadrada e escolhendo a raiz positiva (velocidade escalar positiva durante a queda),
Explicação didática: fisicamente o paraquedista acelera até que a resistência do ar iguale o peso; então as forças se equilibram e a velocidade se estabiliza em
. Esse valor é o máximo assintótico que a velocidade pode atingir durante a queda.
Passo 4
Verificação dimensional rápida para confirmar coerência.
- Unidade de
: . - Como
e tem unidades de , temos . - Assim
tem unidade , e sua raiz dá , consistente com velocidade.
Passo 5
Comparação com as alternativas: a expressão obtida coincide com a alternativa (b).
Resposta
b)