Nota: Adote a aceleração da gravidade g=10 \mathrm{~m} / \mathrm{s}^{2}.
Um paraquedista em queda livre sofre uma força de arrasto aerodinâmico (resistência do ar) modelada matematicamente pela equação vetorial em módulo F_{d}=b v^{2}, onde v é a velocidade de queda do paraquedista e b é um coeficiente constante positivo de arrasto. Sabendo que o sistema possui massa total m, qual é a expressão analítica da velocidade terminal \left(v_{T}\right) máxima atingida no decurso da queda?
a) v_{T}=\frac{m g}{b}
b) v_{T}=\sqrt{\frac{m g}{b}}
c) v_{T}=\left(\frac{m g}{b}\right)^{2}
d) v_{T}=\sqrt{\frac{b}{m g}}
e) v_{T}=\frac{b}{m g}

Passo 1

O enunciado pede a expressão analítica da velocidade terminal máxima atingida por um paraquedista sujeito ao peso e à resistência do ar. Informações dadas:
  • A força de arrasto (resistência do ar) tem módulo F_{d}=b v^{2}, com b>0 constante e v velocidade de queda.
  • A massa total do sistema é m.
  • A aceleração da gravidade vale g=10\\ \mathrm{m/s^{2}} (valor adotado pelo enunciado).
    O que se quer: a expressão de v_{T}, a velocidade terminal máxima atingida no decurso da queda.

Passo 2

Modelagem dinâmica (escrever as forças e a equação do movimento).
  • Força peso (direção vertical para baixo): P = m g.
  • Força de arrasto (direção para cima, oposta ao movimento): F_{d}=b v^{2}.
    Escolho convenção: direção para baixo como positiva. Pela segunda lei de Newton, soma das forças iguais a massa vezes aceleração:
m\frac{dv}{dt}= \text{(força resultante)} = P - F_{d} = m g - b v^{2}.ç
Explicação: m\frac{dv}{dt} é a massa vezes a aceleração vertical; m g puxa para baixo e b v^{2} puxa para cima (por isso o sinal negativo).

Passo 3

Definição de velocidade terminal e condição matemática.
  • Velocidade terminal v_{T} é o valor de v quando o movimento atinge regime permanente (não há mais aceleração), isto é quando \dfrac{dv}{dt}=0.
    Aplicar essa condição na equação do movimento:
0 = m g - b v_{T}^{2}.
Isolando v_{T}^{2}:
v_{T}^{2}=\frac{m g}{b}.
Tomando a raiz quadrada e escolhendo a raiz positiva (velocidade escalar positiva durante a queda),
v_{T}=\sqrt{\frac{m g}{b}}.
Explicação didática: fisicamente o paraquedista acelera até que a resistência do ar iguale o peso; então as forças se equilibram e a velocidade se estabiliza em v_{T}. Esse valor é o máximo assintótico que a velocidade pode atingir durante a queda.

Passo 4

Verificação dimensional rápida para confirmar coerência.
  • Unidade de m g: \mathrm{kg}\cdot\mathrm{m/s^{2}}=\mathrm{N}.
  • Como F_{d}=b v^{2} e F_{d} tem unidades de \mathrm{N}, temos [b]=\mathrm{N}\cdot\mathrm{s^{2}/m^{2}}=\mathrm{kg/m}.
  • Assim \dfrac{m g}{b} tem unidade \dfrac{\mathrm{kg}\cdot\mathrm{m/s^{2}}}{\mathrm{kg/m}}=\mathrm{m^{2}/s^{2}}, e sua raiz dá \mathrm{m/s}, consistente com velocidade.

Passo 5

Comparação com as alternativas: a expressão obtida coincide com a alternativa (b).

Resposta

b) v_{T}=\sqrt{\frac{m g}{b}}

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