Cálculo o comprimento de arco da curva espiral dada por:
onde
Passo 1
Beleza, vamos lá! O problema pede para calcular o comprimento do arco de uma curva espiral definida pelas funções paramétricas
e
, onde
varia de
a
e
é uma constante positiva. Para resolver isso, vamos usar o conceito de comprimento de arco de uma curva parametrizada, que envolve derivadas e integrais.
Passo 2
Primeiro, precisamos lembrar qual é a fórmula para calcular o comprimento de um arco de uma curva parametrizada. Se temos uma curva definida por
e
, o comprimento do arco
de
até
é dado por:
Passo 3
Agora, vamos calcular as derivadas de
e
em relação a
.
Para
:
Para
:
Passo 4
Em seguida, vamos substituir essas derivadas na fórmula do comprimento do arco:
Vamos expandir isso:
Observamos que os termos
e
se cancelam:
Passo 5
Podemos fatorar
e simplificar usando a identidade trigonométrica
:
Passo 6
Agora, podemos substituir isso na fórmula do comprimento do arco:
Essa integral é conhecida e pode ser resolvida usando substituições trigonométricas ou integrais padrão. A antiderivada de
é:
onde
é a função seno hiperbólico inversa.
Resposta
Portanto, o comprimento do arco da curva espiral é:
Ou simplificando: