Cálculo o comprimento de arco da curva espiral dada por: (x(t), y(t), t in [0, 6 pi]) onde x(t) = a t cos(t), y(t) = a t sen(t), t pertencente a [0, 6 pi], a > 0

Passo 1

Beleza, vamos lá! O problema pede para calcular o comprimento do arco de uma curva espiral definida pelas funções paramétricas e , onde varia de a e é uma constante positiva. Para resolver isso, vamos usar o conceito de comprimento de arco de uma curva parametrizada, que envolve derivadas e integrais.

Passo 2

Primeiro, precisamos lembrar qual é a fórmula para calcular o comprimento de um arco de uma curva parametrizada. Se temos uma curva definida por e , o comprimento do arco de até é dado por:

Passo 3

Agora, vamos calcular as derivadas de e em relação a .
Para :
Para :

Passo 4

Em seguida, vamos substituir essas derivadas na fórmula do comprimento do arco:
Vamos expandir isso:
Observamos que os termos e se cancelam:

Passo 5

Podemos fatorar e simplificar usando a identidade trigonométrica :

Passo 6

Agora, podemos substituir isso na fórmula do comprimento do arco:
Essa integral é conhecida e pode ser resolvida usando substituições trigonométricas ou integrais padrão. A antiderivada de é:
onde é a função seno hiperbólico inversa.

Resposta

Portanto, o comprimento do arco da curva espiral é:
Ou simplificando:

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