Cálculo da derivada pela definição) Ache fracd yd x usando a definição de derivada.
y=raizx^2+3.

Passo 1

O enunciado pede que a gente calcule a derivada de y = raizx^2+3 pela definição de derivada. Isso significa usar o limite do quociente incremental e, no processo, vamos usar racionalização para tratar a forma indeterminada.

Passo 2

A definição de derivada para uma função f é
f'(x) = limhto0f(x+h)-f(x)h
No nosso caso f(x)=raizx^2+3. Substituindo, temos
dydx = limhto0raiz(x+h)^2+3-raizx^2+3h

Passo 3

Dentro desse limite aparece a indeterminação tfrac00. Para resolver, multiplicamos numerador e denominador pelo conjugado do numerador, ou seja,
raiz(x+h)^2+3-raizx^2+3h ;times; raiz(x+h)^2+3+raizx^2+3 raiz(x+h)^2+3+raizx^2+3

Passo 4

No numerador aparece a diferença de quadrados:
(,(x+h)^2+3,) - (,x^2+3,) = 2xh + h^2
Assim o quociente fica
2xh+h^2hl(raiz(x+h)^2+3+raizx^2+3r) = h(2x+h)hl(raiz(x+h)^2+3+raizx^2+3r)

Passo 5

Cancelando h no numerador e denominador e fazendo hto0, o limite fica
limhto02x+hraiz(x+h)^2+3+raizx^2+3 = 2x2raizx^2+3 = xraizx^2+3

Resposta

dydx = xraizx^2+3

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