Questão: ( 25 pontos) Um tanque com uma capacidade de 300 litros originalmente contém 50 litros de água com 3 kg de alumínio dissolvidos. Água contendo 0.1 kg de alumínio por litro entra no tanque a uma taxa de 4 litros por minuto. A solução bem misturada sai do tanque à uma taxa de 2 litros por minuto. Seja
a quantidade de alumínio no tanqué (em kg ) no tempo
.
(a) Encontre um problema de valor inicial para
.
(b) Determine a expressão de
resolvendo o problema de valor inicial anterior.
(c) Encontre a quantidade de sal quando o tanque fica cheio.
(a) Encontre um problema de valor inicial para
(b) Determine a expressão de
(c) Encontre a quantidade de sal quando o tanque fica cheio.
Passo 1
O enunciado descreve um problema de mistura: um tanque inicialmente com
L de água contém
kg de alumínio. Entra solução contendo
kg/L de alumínio a
L/min e sai mistura bem agitada a
L/min. Definimos
como a massa de alumínio (kg) no tempo
. O conteúdo da matéria é EDO de primeira ordem, em particular equações de mistura, que resolvemos por fator integrante.
Passo 2
Primeiro escrevemos a equação para o volume
e a taxa de variação de
.
A variação do volume é
A variação do volume é
A taxa de entrada de alumínio é
A concentração na saída é
e o fluxo de saída é
L/min, logo
Portanto o problema de valor inicial é
Passo 3
Reescrevemos a EDO em forma padrão
Note que
. O fator integrante é
Multiplicando a EDO por
obtém-se
Integrando ambos os lados
Impondo
dá
Logo a solução é
Passo 4
O tanque fica cheio quando
L, ou seja
Substituindo em
:
Resposta
(a)
(b)
(c)