2^a Questão: ( 25 pontos) Um tanque com uma capacidade de 300 litros originalmente contém 50 litros de água com 3 kg de alumínio dissolvidos. Água contendo 0.1 kg de alumínio por litro entra no tanque a uma taxa de 4 litros por minuto. A solução bem misturada sai do tanque à uma taxa de 2 litros por minuto. Seja Q(t) a quantidade de alumínio no tanqué (em kg ) no tempo t.
(a) Encontre um problema de valor inicial para Q(t).
(b) Determine a expressão de Q(t) resolvendo o problema de valor inicial anterior.
(c) Encontre a quantidade de sal quando o tanque fica cheio.

Passo 1

O enunciado descreve um problema de mistura: um tanque inicialmente com 50 L de água contém 3 kg de alumínio. Entra solução contendo 0,1 kg/L de alumínio a 4 L/min e sai mistura bem agitada a 2 L/min. Definimos Q(t) como a massa de alumínio (kg) no tempo t. O conteúdo da matéria é EDO de primeira ordem, em particular equações de mistura, que resolvemos por fator integrante.

Passo 2

Primeiro escrevemos a equação para o volume V(t) e a taxa de variação de Q.
A variação do volume é
V(t)=50 + (4-2),t = 50 + 2t
A taxa de entrada de alumínio é
in = 0,1;kgLtimes 4;Lmin = 0,4;kgmin
A concentração na saída é Q(t)/V(t) e o fluxo de saída é 2 L/min, logo
out = 2;Lmintimes Q(t)50+2t =250+2t,Q(t)
Portanto o problema de valor inicial é
dQdt = 0,4 - 250+2t,Q, Q(0)=3

Passo 3

Reescrevemos a EDO em forma padrão
dQdt + 250+2t,Q = 0,4
Note que tfrac250+2t = tfrac125+t. O fator integrante é
mu(t) =expl(integral 125+t,dtr) =25+t
Multiplicando a EDO por mu(t) obtém-se
ddtl[(25+t),Qr] =0,4,(25+t)
Integrando ambos os lados
(25+t),Q =0,4integral(25+t),dt + C =0,4l(25t + tfract^22r) + C =10t + 0,2t^2 + C
Impondo Q(0)=3
25cdot 3 = C Rightarrow C=75
Logo a solução é
Q(t) =0,2,t^2 + 10,t + 7525+t

Passo 4

O tanque fica cheio quando V(t)=300 L, ou seja
50 + 2t = 300 Rightarrow t=125;min
Substituindo em Q(t):
Q(125) =0,2cdot125^2 + 10cdot125 + 7525+125 =3125 + 1250 + 75150 =4450150 =893;kg

Resposta

(a)
dQdt = 0,4 - 250+2t,Q, Q(0)=3
(b)
Q(t) = 0,2,t^2 + 10,t + 7525+t
(c)
Q(125) = 893;kg

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