(Cálculo da derivada pela definição - 2,5 pontos) Ache d yd x usando a definição de derivada.
y=raizx-5.

Passo 1

Então, vamos resolver esse exercício que pede para calcular a derivada de usando a definição de derivada. A matéria envolvida aqui é o cálculo diferencial, especificamente como encontrar a derivada usando o limite. Para isso, vamos precisar aplicar a fórmula da derivada pela definição.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar qual é a definição da derivada. A derivada de f(x + h) - f(x)h em relação a , denotada por , é o limite quando se aproxima de zero de:
No nosso caso, .

Passo 3

Vamos substituir dydx = limh to 0 raiz(x + h) - 5 - raizx - 5h na fórmula:
dydx = limh to 0 raizx + h - 5 - raizx - 5h
Simplificando dentro das raízes:

Passo 4

Para resolver esse limite, vamos multiplicar o numerador e o denominador pela conjugada do numerador para eliminar a raiz. A conjugada de (raizx + h - 5 - raizx - 5) (raizx + h - 5 + raizx - 5) h (raizx + h - 5 + raizx - 5) é .
Multiplicando, temos:

Passo 5

No numerador, usamos a identidade (x + h - 5) - (x - 5) h (raizx + h - 5 + raizx - 5) :
x + h - 5 - x + 5 h (raizx + h - 5 + raizx - 5) = h h (raizx + h - 5 + raizx - 5)
Simplificando o numerador:

Passo 6

Cancelamos o 1raizx + h - 5 + raizx - 5 que está no numerador e no denominador:
limh to 0 1raizx + h - 5 + raizx - 5 = 12raizx - 5
Agora, tiramos o limite quando se aproxima de zero:

Resposta

Portanto, a derivada de dydx = 12raizx - 5 em relação a é:

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