(Cálculo da derivada pela definição - 2,5 pontos) Ache
usando a definição de derivada.
.
Passo 1
Então, vamos resolver esse exercício que pede para calcular a derivada de
usando a definição de derivada. A matéria envolvida aqui é o cálculo diferencial, especificamente como encontrar a derivada usando o limite. Para isso, vamos precisar aplicar a fórmula da derivada pela definição.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar qual é a definição da derivada. A derivada de
em relação a
, denotada por
, é o limite quando
se aproxima de zero de:
No nosso caso,
.
Passo 3
Vamos substituir
na fórmula:
Simplificando dentro das raízes:
Passo 4
Para resolver esse limite, vamos multiplicar o numerador e o denominador pela conjugada do numerador para eliminar a raiz. A conjugada de
é
.
Multiplicando, temos:
Passo 5
No numerador, usamos a identidade
:
Simplificando o numerador:
Passo 6
Cancelamos o
que está no numerador e no denominador:
Agora, tiramos o limite quando
se aproxima de zero:
Resposta
Portanto, a derivada de
em relação a
é: