(Valor: 2,5) Seja gamma o triângulo de vértices (0,0,1),(2,0,1) e (1,1,1), percorrido no sentido horário.
Calcule integralgamma F d r, onde F é um campo de vetores do plano dado por F(x, y, z)=(x y^2, x y, 3 z^2).

Passo 1

Beleza, galera! Então, a gente tem um triângulo no espaço com vértices em (0,0,1), (2,0,1) e (1,1,1), e a gente quer calcular a integral de linha de um campo vetorial ao longo desse triângulo, percorrido no sentido horário. A matéria que vamos usar aqui é de Cálculo Vetorial, especificamente a integral de linha e o Teorema de Green. Vamos precisar entender como aplicar o Teorema de Green para facilitar o cálculo dessa integral.

Passo 2

Primeiro, vamos notar que todas as coordenadas z dos vértices são iguais a 1. Isso significa que o triângulo está todo no plano F(x, y, 1) = (x y^2, x y, 3 cdot 1^2) = (x y^2, x y, 3) . Então, ao longo do caminho integralgamma F cdot dr = integralgamma (x y^2 dx + x y dy + 3 dz) = integralgamma (x y^2 dx + x y dy) , o valor de é sempre 1. Vamos simplificar o campo vetorial substituindo :
Mas, como o caminho está no plano , o diferencial será , e como é constante, . Portanto, a integral de linha se reduz a:

Passo 3

Agora, vamos aplicar o Teorema de Green. Esse teorema relaciona a integral de linha ao redor de um caminho fechado com uma integral dupla sobre a região ointgamma (P dx + Q dy) = integral duplaD ( partial Qpartial x - partial Ppartial y ) dx dy delimitada por esse caminho. A fórmula do Teorema de Green é:
partial Qpartial x = partial (x y)partial x = y
No nosso caso, partial Ppartial y = partial (x y^2)partial y = 2 x y e partial Qpartial x - partial Ppartial y = y - 2 x y = y (1 - 2x) . Vamos calcular as derivadas parciais:
Então, a expressão dentro da integral dupla fica:

Passo 4

Agora, precisamos calcular a integral dupla sobre a região integral duplaD y (1 - 2x) , dx dy = integral0^2 integral0^-x + 2 y (1 - 2x) , dy dx , que é o triângulo com vértices em (0,0), (2,0) e (1,1) no plano . Vamos descrever a região para facilitar a integração:
  • Para variando de 0 a 2.
  • Para cada , varia de 0 até a reta que conecta (2,0) a (1,1). A equação dessa reta é .
Então, nossa integral dupla fica:

Passo 5

Vamos resolver a integral interna primeiro, com respeito a integral0^-x + 2 y (1 - 2x) , dy = (1 - 2x) integral0^-x + 2 y , dy = (1 - 2x) [ y^22 ]0^-x + 2 :
= (1 - 2x) ( (-x + 2)^22 - 0 ) = (1 - 2x)(x^2 - 4x + 4)2
Calculando os limites:
= (1 - 2x)(x^2 - 4x + 4)2 = (x^2 - 4x + 4 - 2x^3 + 8x^2 - 8x)2 = -2x^3 + 9x^2 - 12x + 42
Agora, vamos simplificar essa expressão:

Passo 6

Agora, vamos integrar essa expressão com respeito a integral0^2 -2x^3 + 9x^2 - 12x + 42 , dx = 12 integral0^2 (-2x^3 + 9x^2 - 12x + 4) , dx de 0 a 2:
12 [ -2x^44 + 9x^33 - 12x^22 + 4x ]0^2 = 12 [ -x^42 + 3x^3 - 6x^2 + 4x ]0^2
Integrando termo a termo:
-(2)^42 + 3(2)^3 - 6(2)^2 + 4(2) = -162 + 24 - 24 + 8 = -8 + 24 - 24 + 8 = 0
Calculando em 0 + 0 - 0 + 0 = 0 :
12 (0 - 0) = 0
E em :
Então, a integral dupla é:

Resposta

A integral de linha é igual a 0.

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