(Valor: 2,5) Seja
o triângulo de vértices
e
, percorrido no sentido horário.
Calcule
, onde
é um campo de vetores do plano dado por
.
Calcule
Passo 1
Beleza, galera! Então, a gente tem um triângulo no espaço com vértices em (0,0,1), (2,0,1) e (1,1,1), e a gente quer calcular a integral de linha de um campo vetorial
ao longo desse triângulo, percorrido no sentido horário. A matéria que vamos usar aqui é de Cálculo Vetorial, especificamente a integral de linha e o Teorema de Green. Vamos precisar entender como aplicar o Teorema de Green para facilitar o cálculo dessa integral.
Passo 2
Primeiro, vamos notar que todas as coordenadas z dos vértices são iguais a 1. Isso significa que o triângulo está todo no plano
. Então, ao longo do caminho
, o valor de
é sempre 1. Vamos simplificar o campo vetorial
substituindo
:
Mas, como o caminho está no plano
, o diferencial
será
, e como
é constante,
. Portanto, a integral de linha se reduz a:
Passo 3
Agora, vamos aplicar o Teorema de Green. Esse teorema relaciona a integral de linha ao redor de um caminho fechado com uma integral dupla sobre a região
delimitada por esse caminho. A fórmula do Teorema de Green é:
No nosso caso,
e
. Vamos calcular as derivadas parciais:
Então, a expressão dentro da integral dupla fica:
Passo 4
Agora, precisamos calcular a integral dupla sobre a região
, que é o triângulo com vértices em (0,0), (2,0) e (1,1) no plano
. Vamos descrever a região
para facilitar a integração:
- Para
variando de 0 a 2. - Para cada
, varia de 0 até a reta que conecta (2,0) a (1,1). A equação dessa reta é .
Então, nossa integral dupla fica:
Passo 5
Vamos resolver a integral interna primeiro, com respeito a
:
Calculando os limites:
Agora, vamos simplificar essa expressão:
Passo 6
Agora, vamos integrar essa expressão com respeito a
de 0 a 2:
Integrando termo a termo:
Calculando em
:
E em
:
Então, a integral dupla é:
Resposta
A integral de linha
é igual a 0.