Cálculo da derivada pela definição - 2,0 pontos
Ache
usando a definição de derivada.
a)
b)
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a)
b)
Passo 1
Beleza, vamos resolver a derivada de $ y = x^{3} + 1 $ usando a definição de derivada. A matéria que estamos usando aqui é Cálculo Diferencial, especificamente a definição de derivada, que nos ajuda a encontrar a taxa de variação de uma função em relação a $ x $.
Passo 2
A definição de derivada é dada por:
Isso significa que para encontrar a derivada de $ y $ em relação a $ x $, substituímos $ f(x + h) $ na função e subtraímos $ f(x) $, dividimos por $ h $ e depois calculamos o limite conforme $ h $ se aproxima de zero.
Passo 3
Vamos substituir $ f(x) = x^{3} + 1 $ na definição:
Agora, calculamos $ f(x + h) - f(x) $:
Vamos expandir $ (x + h)^{3} $:
Então,
Passo 4
Agora, dividimos tudo por $ h $:
Agora, calculamos o limite quando $ h $ tende a 0:
Passo 5
Agora, vamos calcular a derivada de $ y = \sqrt{x} $ usando a definição de derivada. Continuamos no Cálculo Diferencial, aplicando a definição para uma função diferente.
Passo 6
Como antes, usamos:
Aqui, $ f(x) = \sqrt{x} $, então vamos seguir os passos.
Passo 7
Substituímos $ f(x) = \sqrt{x} $:
Calculamos $ f(x + h) - f(x) $:
Para simplificar, multiplicamos numerador e denominador por $ \sqrt{x + h} + \sqrt{x} $ (a conjugada):
Passo 8
Agora, calculamos o limite quando $ h $ tende a 0:
Resposta
A derivada de $ y = \sqrt{x} $ é: