Cálculo da derivada pela definição - 2,0 pontos
Ache d yd x usando a definição de derivada.
a) y=x^3+1
b) y=raizx

Passo 1

Beleza, vamos resolver a derivada de $ y = x^{3} + 1 $ usando a definição de derivada. A matéria que estamos usando aqui é Cálculo Diferencial, especificamente a definição de derivada, que nos ajuda a encontrar a taxa de variação de uma função em relação a $ x $.

Passo 2

A definição de derivada é dada por:
dydx = limh to 0 f(x + h) - f(x)h
Isso significa que para encontrar a derivada de $ y $ em relação a $ x $, substituímos $ f(x + h) $ na função e subtraímos $ f(x) $, dividimos por $ h $ e depois calculamos o limite conforme $ h $ se aproxima de zero.

Passo 3

Vamos substituir $ f(x) = x^{3} + 1 $ na definição:
f(x) = x^3 + 1
Agora, calculamos $ f(x + h) - f(x) $:
f(x + h) = (x + h)^3 + 1
Vamos expandir $ (x + h)^{3} $:
f(x + h) - f(x)
Então,
(x + h)^3 + 1 - (x^3 + 1) = (x + h)^3 - x^3

Passo 4

Agora, dividimos tudo por $ h $:
h
Agora, calculamos o limite quando $ h $ tende a 0:
3x^2h + 3xh^2 + h^3h = 3x^2 + 3xh + h^2

Passo 5

Agora, vamos calcular a derivada de $ y = \sqrt{x} $ usando a definição de derivada. Continuamos no Cálculo Diferencial, aplicando a definição para uma função diferente.

Passo 6

Como antes, usamos:
dydx = limh to 0 f(x + h) - f(x)h
Aqui, $ f(x) = \sqrt{x} $, então vamos seguir os passos.

Passo 7

Substituímos $ f(x) = \sqrt{x} $:
f(x) = raizx
Calculamos $ f(x + h) - f(x) $:
f(x + h) = raizx + h
Para simplificar, multiplicamos numerador e denominador por $ \sqrt{x + h} + \sqrt{x} $ (a conjugada):
f(x + h) - f(x)

Passo 8

Agora, calculamos o limite quando $ h $ tende a 0:
h

Resposta

A derivada de $ y = \sqrt{x} $ é:
y = raizx

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