Calcular a integral integral triplaV div F d V aplicando o Teorema da Divergência de Gauss (mostre detalhes) para F(x, y, z)=3 x y^2 i+(y x^2-y^3) j+3 z x^2 k e o volume V definido por
V: x^2+y^2 <= 25, 0 <= z <= 2

Passo 1

A questão pede para calcular integral triplaV div,F,dV usando o Teorema da Divergência de Gauss, onde
F(x,y,z)=3xy^2,i+(yx^2-y^3),j+3zx^2,k
e o volume V é o cilindro definido por x^2+y^2<=25,;0<= z<=2. Vamos usar a teoria de divergência e coordenadas cilíndricas para resolver.

Passo 2

Primeiro calculamos a divergência de F pelas derivadas parciais:
div,F =partialpartial x(3xy^2) +partialpartial y(x^2y - y^3) +partialpartial z(3zx^2) =3y^2+(x^2-3y^2)+3x^2 =4x^2

Passo 3

Pelo Teorema da Divergência, temos
integral triplaV div,F,dV =integral triplaV 4x^2,dV
Agora descrevemos V em coordenadas cilíndricas: x=rcostheta, y=rsintheta, z=z, e o jacobiano é r.

Passo 4

Substituindo em cilíndricas, a integral fica:
integral triplaV 4x^2,dV =integralz=0^2integraltheta=0^2piintegralr=0^5 4(rcostheta)^2,r,dr,dtheta,dz =integralz=0^2integraltheta=0^2piintegralr=0^5 4r^3cos^2theta,dr,dtheta,dz

Passo 5

Para calcular, integramos em r, theta e z:
integralr=0^5 4r^3,dr=5^4=625, integraltheta=0^2picos^2theta,dtheta=pi, integralz=0^2 dz=2
Multiplicando esses resultados, obtemos 625timespitimes2=1250pi.

Resposta

1250\pi

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