Calcular a integral
aplicando o Teorema da Divergência de Gauss (mostre detalhes) para
e o volume
definido por
Passo 1
A questão pede para calcular
usando o Teorema da Divergência de Gauss, onde
e o volume é o cilindro definido por
. Vamos usar a teoria de divergência e coordenadas cilíndricas para resolver.
e o volume
Passo 2
Primeiro calculamos a divergência de
pelas derivadas parciais:
Passo 3
Pelo Teorema da Divergência, temos
Agora descrevemos
em coordenadas cilíndricas:
,
,
, e o jacobiano é
.
Passo 4
Substituindo em cilíndricas, a integral fica:
Passo 5
Para calcular, integramos em
,
e
:
Multiplicando esses resultados, obtemos
.
Resposta
1250\pi