Cálculo de derivabilidade - 2,0 pontos
Ache os valores de a e b tais que f seja derivável em 1 se

Passo 1

Beleza, vamos lá! Temos uma função definida por partes:
f(x)= a x + b & se x < 2 2 x^2 - 1 & se 2 <= x
O objetivo é encontrar os valores de $ a $ e $ b $ para que a função $ f $ seja derivável em $ x = 2 $. Para que uma função seja derivável em um ponto, ela precisa ser contínua nesse ponto e suas derivadas à esquerda e à direita devem ser iguais.

Passo 2

Primeiro, vamos garantir que a função seja contínua em $ x = 2 $. Isso significa que os valores das duas partes da função devem ser iguais em $ x = 2 $.
Calculando $ f(2) $ de cada lado:
Para $ x < 2 $:
x = 2
Para $ x \geq 2 $:
x = 2
Igualando os dois resultados para garantir a continuidade:
f(2) çã

Passo 3

Agora, vamos garantir que as derivadas à esquerda e à direita em $ x = 2 $ sejam iguais.
Primeiro, encontramos a derivada de cada parte da função.
Para $ x < 2 $:
x = 2
Para $ x \geq 2 $:
x < 2
Agora, calculamos as derivadas em $ x = 2 $:
Derivada à esquerda:
f(x) = a x + b f'(x) = a
Derivada à direita:
x >= 2
Igualando as derivadas para garantir a derivabilidade:
f(x) = 2 x^2 - 1 f'(x) = 4x çã

Passo 4

Agora que temos duas equações:
  1. $ 2a + b = 7 $
  2. $ a = 8 $
Podemos substituir o valor de $ a $ na Equação 1 para encontrar $ b $:
2a + b = 7

Resposta

Os valores que tornam a função $ f $ derivável em $ x = 2 $ são:
f

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