Cálculo de derivabilidade - 2,0 pontos
Ache os valores de
e
tais que
seja derivável em 1 se
Ache os valores de
Passo 1
Beleza, vamos lá! Temos uma função definida por partes:
O objetivo é encontrar os valores de $ a $ e $ b $ para que a função $ f $ seja derivável em $ x = 2 $. Para que uma função seja derivável em um ponto, ela precisa ser contínua nesse ponto e suas derivadas à esquerda e à direita devem ser iguais.
Passo 2
Primeiro, vamos garantir que a função seja contínua em $ x = 2 $. Isso significa que os valores das duas partes da função devem ser iguais em $ x = 2 $.
Calculando $ f(2) $ de cada lado:
Para $ x < 2 $:
Para $ x \geq 2 $:
Igualando os dois resultados para garantir a continuidade:
Passo 3
Agora, vamos garantir que as derivadas à esquerda e à direita em $ x = 2 $ sejam iguais.
Primeiro, encontramos a derivada de cada parte da função.
Para $ x < 2 $:
Para $ x \geq 2 $:
Agora, calculamos as derivadas em $ x = 2 $:
Derivada à esquerda:
Derivada à direita:
Igualando as derivadas para garantir a derivabilidade:
Passo 4
Agora que temos duas equações:
- $ 2a + b = 7 $
- $ a = 8 $
Podemos substituir o valor de $ a $ na Equação 1 para encontrar $ b $:
Resposta
Os valores que tornam a função $ f $ derivável em $ x = 2 $ são: