1. (Cálculo de derivadas e derivação implícita - 2,5 pontos) Ache d yd x
    b) y=1-cos ^2(2 x)ln (x+y)

Passo 1

O enunciado dá uma função definida implicitamente por
y=1-cos^2(2x)ln(x+y)
Precisamos encontrar y'=dydx usando derivação de quociente, regra da cadeia e derivação implícita na parte de ln(x+y).

Passo 2

Vamos chamar o numerador de N=1-cos^2(2x) e o denominador de D=ln(x+y). Primeiro, derivamos N em relação a x:
Usando regra da cadeia em cos^2(2x), temos
N'=ddx[1]-ddx[cos^2(2x)] =0-2cos(2x)cdot(-sin(2x))cdot2 =4cos(2x)sin(2x) =2sin(4x)

Passo 3

Agora derivamos D=ln(x+y). Como y depende de x, usamos derivada de ln(u) e derivada implícita em u=x+y:
D'=1x+ycdot(1+y')

Passo 4

Aplicamos a regra do quociente:
y'=N',D- N,D'D^2 =2sin(4x)ln(x+y)-l(1-cos^2(2x)r)cdot1+y'x+y[ln(x+y)]^2

Passo 5

Agora isolamos y'. Multiplicamos ambos os lados por [ln(x+y)]^2 e depois por (x+y), recolhendo os termos com y' no mesmo lado. Isso leva a:
y'l((x+y)[ln(x+y)]^2+1-cos^2(2x)r)=2sin(4x)(x+y)ln(x+y)-(1-cos^2(2x))

Passo 6

Finalmente, isolamos y' e obtemos a derivada desejada:
y'=2sin(4x)(x+y)ln(x+y)-(1-cos^2(2x))(x+y)[ln(x+y)]^2+1-cos^2(2x)

Resposta

y'=2sin(4x)(x+y)ln(x+y)-(1-cos^2(2x))(x+y)[ln(x+y)]^2+1-cos^2(2x)

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