Cálculo de derivada da função composta - Encontre as derivadas a seguir utilizando-se da fórmula a seguir
Regra da cadeia para derivadas:
Se
e
, então a derivada de
em relação a
é dada por:
Regra da cadeia para derivadas:
Se
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O que a gente precisa fazer aqui é calcular a derivada da função composta $ e^{\sin(x)} $ usando a Regra da Cadeia. A matéria que estamos trabalhando é Cálculo Diferencial, mais especificamente derivadas de funções compostas. Para isso, vamos precisar entender como a Regra da Cadeia funciona e aplicá-la passo a passo.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar as duas funções que compõem a função composta $ e^{\sin(x)} $. Vamos chamar:
- $ y = e^{u} $ onde $ u = \sin(x) $
Aqui, $ y $ é uma função de $ u $, e $ u $ é uma função de $ x $.
Passo 3
Agora, vamos lembrar da Regra da Cadeia, que diz que se $ y = f(u) $ e $ u = g(x) $, então a derivada de $ y $ em relação a $ x $ é:
Isso significa que a derivada da função composta é o produto das derivadas das funções internas.
Passo 4
Vamos calcular cada uma dessas derivadas separadamente.
Primeiro, a derivada de $ y = e^{u} $ em relação a $ u $ é:
Em seguida, a derivada de $ u = \sin(x) $ em relação a $ x $ é:
Passo 5
Agora, aplicamos a Regra da Cadeia multiplicando essas duas derivadas:
Lembrando que $ u = \sin(x) $, podemos substituir de volta:
Resposta
A derivada de $ e^{\sin(x)} $ em relação a $ x $ é: