Cálculo de derivada da função composta - Encontre as derivadas a seguir utilizando-se da fórmula a seguir
Regra da cadeia para derivadas:
Se y=f(u) e u=g(x), então a derivada de y em relação a x é dada por: d yd x=d yd u cdot d ud x
dd x(e^sin (x))

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O que a gente precisa fazer aqui é calcular a derivada da função composta $ e^{\sin(x)} $ usando a Regra da Cadeia. A matéria que estamos trabalhando é Cálculo Diferencial, mais especificamente derivadas de funções compostas. Para isso, vamos precisar entender como a Regra da Cadeia funciona e aplicá-la passo a passo.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar as duas funções que compõem a função composta $ e^{\sin(x)} $. Vamos chamar:
  • $ y = e^{u} $ onde $ u = \sin(x) $
Aqui, $ y $ é uma função de $ u $, e $ u $ é uma função de $ x $.

Passo 3

Agora, vamos lembrar da Regra da Cadeia, que diz que se $ y = f(u) $ e $ u = g(x) $, então a derivada de $ y $ em relação a $ x $ é:
y = f(u)
Isso significa que a derivada da função composta é o produto das derivadas das funções internas.

Passo 4

Vamos calcular cada uma dessas derivadas separadamente.
Primeiro, a derivada de $ y = e^{u} $ em relação a $ u $ é:
y = e^u
Em seguida, a derivada de $ u = \sin(x) $ em relação a $ x $ é:
u

Passo 5

Agora, aplicamos a Regra da Cadeia multiplicando essas duas derivadas:
dydx = dydu cdot dudx = e^u cdot cos(x)
Lembrando que $ u = \sin(x) $, podemos substituir de volta:
u = sin(x)

Resposta

A derivada de $ e^{\sin(x)} $ em relação a $ x $ é:
e^sin(x)

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