Estabeleça a identidade dada abaixo.

Passo 1

O enunciado pede para provar a identidade de soma de ângulos para o cosseno em termos de funções exponenciais complexas. O conteúdo envolve usar a fórmula de Euler para senos e cossenos e a propriedade de que exponenciais somam exponencial de soma.

Passo 2

A fórmula de Euler diz que para todo número complexo z valem as identidades:
cos z = e^iz + e^-iz2, sin z = e^iz - e^-iz2i

Passo 3

Aplicamos a definição de cosseno à soma z1 + z2:
cos(z1 + z2) = e^i(z1+z2) + e^-i(z1+z2)2 = e^iz1e^iz2 + e^-iz1e^-iz22

Passo 4

Agora calculamos o lado direito
cos z1cos z2 - sin z1sin z2 usando Euler:
cos z1cos z2 = e^iz1+e^-iz12cdote^iz2+e^-iz22 = 14l(e^iz1e^iz2 + e^iz1e^-iz2 + e^-iz1e^iz2 + e^-iz1e^-iz2r)
sin z1sin z2 = e^iz1-e^-iz12icdote^iz2-e^-iz22i = -14l(e^iz1e^iz2 - e^iz1e^-iz2 - e^-iz1e^iz2 + e^-iz1e^-iz2r)

Passo 5

Subtraindo esses resultados, os termos cruzados cancelam e obtemos
cos z1cos z2 - sin z1sin z2 = 14l(2e^iz1e^iz2 + 2e^-iz1e^-iz2r) = e^iz1e^iz2 + e^-iz1e^-iz22 = cos(z1+z2)

Passo 6

Concluímos assim que
cos(z1+z2) = cos z1cos z2 - sin z1sin z2

Resposta

cos(z1+z2)=cos z1cos z2-sin z1sin z2

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