Estabeleça a identidade dada abaixo.
Passo 1
O enunciado pede para provar a identidade de soma de ângulos para o cosseno em termos de funções exponenciais complexas. O conteúdo envolve usar a fórmula de Euler para senos e cossenos e a propriedade de que exponenciais somam exponencial de soma.
Passo 2
A fórmula de Euler diz que para todo número complexo
valem as identidades:
Passo 3
Aplicamos a definição de cosseno à soma
:
Passo 4
Agora calculamos o lado direito
usando Euler:
Passo 5
Subtraindo esses resultados, os termos cruzados cancelam e obtemos
Passo 6
Concluímos assim que