Cálculo de derivada da função composta - Encontre as derivadas a seguir utilizando-se da fórmula a seguir
Regra da cadeia para derivadas:
Se y=f(u) e u=g(x), então a derivada de y em relação a x é dada por: d yd x=d yd u cdot d ud x
dd x(sin (e^x))

Passo 1

A questão pede a derivada de y=sin(e^x). O conteúdo principal é a regra da cadeia, e vamos precisar saber as derivadas de sin(u) e de e^x.

Passo 2

Vamos definir uma função externa e uma interna: seja u=g(x)=e^x e y=f(u)=sin(u). Assim, estamos na situação clássica em que y=f(g(x)).

Passo 3

Primeiro calculamos dydu. Como y=sin(u), temos
dydu=cos(u)
Em seguida, calculamos dudx. Como u=e^x, sabemos que
dudx=e^x
Agora aplicamos a regra da cadeia: em geral
dydx=dyducdotdudx
Substituindo o que encontramos, vem
dydx=cos(u)cdot e^x
Por fim, voltamos a escrever u=e^x dentro do cosseno. Assim obtemos
ddxl(sin(e^x)r)=e^xcosl(e^xr)

Resposta

e^xcos(e^x)

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