Identifique a regra de derivação da função, bem como o domínio em que a função é derivável. Escolha um ponto adequado para calcular o valor da derivada no ponto
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos a função $ f(z) = \frac{\sin(z)}{z + i} $. Nosso objetivo é identificar qual regra de derivação vamos usar para encontrar a derivada dessa função, descobrir em que domínio ela é derivável e então escolher um ponto específico para calcular o valor da derivada nesse ponto. Para resolver isso, vamos precisar conhecer as regras de derivação, especialmente a regra do quociente, e entender os conceitos de domínio de uma função.
Passo 2
Vamos identificar a regra de derivação adequada. A função $ f(z) $ é um quociente de duas funções: $ \sin(z) $ e $ z + i $. Quando temos uma função que é o quociente de duas outras funções, usamos a regra do quociente para derivar. A regra do quociente diz que, se temos $ \frac{u(z)}{v(z)} $, então a derivada $ f’(z) $ é:
Passo 3
Agora, identificamos $ u(z) = \sin(z) $ e $ v(z) = z + i $. Vamos derivar cada uma dessas funções:
- A derivada de $ u(z) = \sin(z) $ é $ u’(z) = \cos(z) $.
- A derivada de $ v(z) = z + i $ é $ v’(z) = 1 $.
Passo 4
Substituímos essas derivadas na fórmula da regra do quociente:
Simplificando isso, temos:
Passo 5
Agora, vamos determinar o domínio em que a função é derivável. A função $ f(z) = \frac{\sin(z)}{z + i} $ está definida para todos os valores de $ z $ onde o denominador $ z + i \neq 0 $. Ou seja, $ z \neq -i $. Portanto, o domínio da função e onde ela é derivável é $ \mathbb{C} \setminus {-i} $.
Passo 6
Vamos escolher um ponto adequado para calcular a derivada. Um ponto simples para facilitar os cálculos pode ser $ z = 0 $. Vamos substituir $ z = 0 $ na expressão da derivada que encontramos:
Sabemos que $ \cos(0) = 1 $ e $ \sin(0) = 0 $. Então:
Resposta
A derivada da função $ f(z) = \frac{\sin(z)}{z + i} $ é $ f’(z) = \frac{(z + i)\cos(z) - \sin(z)}{(z + i)^2} $, definida para todos os $ z $ em $ \mathbb{C} $ exceto $ z = -i $. Calculando no ponto $ z = 0 $, temos $ f’(0) = -i $.