Cálculo de derivada da função composta - Encontre as derivadas a seguir utilizando-se da fórmula a seguir
Regra da cadeia para derivadas:
Se y=f(u) e u=g(x), então a derivada de y em relação a x é dada por: d yd x=d yd u cdot d ud x
dd x(cos (e^x^2))

Passo 1

O enunciado pede para calcular a derivada de cos(e^x^2) em relação a x usando a regra da cadeia, tema de derivadas de função composta.

Passo 2

Vamos decompor a função em três níveis: definimos h(x)=x^2, depois g(v)=e^v onde v=h(x), e por fim f(u)=cos(u) onde u=g(h(x)).

Passo 3

Calculamos cada derivada intermediária:
dvdx=h'(x)=2x,
dudv=g'(v)=e^v,
dydu=f'(u)=-sin(u)

Passo 4

Agora aplicamos a regra da cadeia estendida:
dydx=dyducdotdudvcdotdvdx

Passo 5

Substituindo u=e^x^2 e v=x^2 na expressão acima, obtemos:
dydx=(-sin(e^x^2))cdot(e^x^2)cdot(2x)= -2x e^x^2sin(e^x^2)

Resposta

-2x e^x^2 sin(e^x^2)

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