Estabeleça a identidade dada abaixo.
|cosh (x+imath y)|^2-|senh(x+imath y)|^2=cos 2 y

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que, para qualquer número complexo z = x + i y, vale a identidade envolvendo valores absolutos ao quadrado das funções hiperbólicas: |cosh(x + i y)|^2 - |sinh(x + i y)|^2 = cos 2y. Vamos usar propriedades de funções hiperbólicas e trigonométricas complexas.

Passo 2

Primeiro, escrevemos as fórmulas de extensão para argumentos complexos:
cosh(x + i y) = cosh x cos y + i,sinh x sin y
sinh(x + i y) = sinh x cos y + i,cosh x sin y
Em seguida, calculamos os módulos ao quadrado de cada uma:
|cosh(x + i y)|^2 = (cosh x cos y)^2 + (sinh x sin y)^2
|sinh(x + i y)|^2 = (sinh x cos y)^2 + (cosh x sin y)^2

Passo 3

Agora subtraímos esses resultados:
|cosh(x + i y)|^2 - |sinh(x + i y)|^2 = (cosh^2 xcos^2 y + sinh^2 xsin^2 y) - (sinh^2 xcos^2 y + cosh^2 xsin^2 y)
Agrupando termos em cos^2 y e sin^2 y e lembrando que cosh^2 x - sinh^2 x = 1, obtemos:
= (cosh^2 x - sinh^2 x)cos^2 y - (cosh^2 x - sinh^2 x)sin^2 y = cos^2 y - sin^2 y
Por fim, reconhecemos a identidade trigonométrica cos^2 y - sin^2 y = cos 2y, completando a demonstração.

Resposta

cos 2y

Exercícios relacionados