Estabeleça a identidade dada abaixo.
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que, para qualquer número complexo
, vale a identidade envolvendo valores absolutos ao quadrado das funções hiperbólicas:
. Vamos usar propriedades de funções hiperbólicas e trigonométricas complexas.
Passo 2
Primeiro, escrevemos as fórmulas de extensão para argumentos complexos:
Em seguida, calculamos os módulos ao quadrado de cada uma:
Em seguida, calculamos os módulos ao quadrado de cada uma:
Passo 3
Agora subtraímos esses resultados:
Agrupando termos em
Por fim, reconhecemos a identidade trigonométrica
, completando a demonstração.