Estabeleça a identidade dada abaixo.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar a identidade de soma para a função hiperbólica seno hiperbólico:\Precisamos provar que \ sinh(z1+z2) = sinh z1,cosh z2 + cosh z1,sinh z2 \Vamos usar definições em termos de exponenciais.

Passo 2

Lembrando as definições: \ sinh w = e^w - e^-w2, cosh w = e^w + e^-w2 \Aplicando em w = z1+z2, obtemos: \ sinh(z1+z2) = e^z1+z2 - e^-(z1+z2)2

Passo 3

Agora escrevemos cada termo do lado direito da identidade em função de exponenciais. Primeiro \ sinh z1,cosh z2 = e^z1 - e^-z12 cdot e^z2 + e^-z22 = e^z1+z2 + e^z1-z2 - e^-z1+z2 - e^-z1-z24, \e em seguida \ cosh z1,sinh z2 = e^z1 + e^-z12 cdot e^z2 - e^-z22 = e^z1+z2 - e^z1-z2 + e^-z1+z2 - e^-z1-z24

Passo 4

Somando essas duas expressões temos: \ sinh z1,cosh z2 + cosh z1,sinh z2 = 2e^z1+z2 - 2e^-z1-z24 = e^z1+z2 - e^-(z1+z2)2, \que coincide exatamente com sinh(z1+z2) obtido anteriormente.

Passo 5

Portanto, a identidade está estabelecida.

Resposta

sinh(z1+z2) = sinh z1,cosh z2 + cosh z1,sinh z2

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