Cálculo de derivada da função composta - Encontre as derivadas a seguir utilizando-se da fórmula a seguir
Regra da cadeia para derivadas:
Se y=f(u) e u=g(x), então a derivada de y em relação a x é dada por: d yd x=d yd u cdot d ud x
dd x(e^cos (sin (x)))

Passo 1

Temos a função y = e^cos(sin(x)). O conteúdo aqui é derivada de função composta, e vamos usar a regra da cadeia, precisando das derivadas de e^u, cos(u) e sin(x).

Passo 2

Para aplicar a regra da cadeia, definimos camadas intermediárias: u = cos(sin(x)) e v = sin(x). Então podemos ver y = e^u, u = cos(v) e v = sin(x).

Passo 3

Agora calculamos as derivadas de cada nível:
  • dydu = e^u.
  • dudv = -sin(v).
  • dvdx = cos(x).

Passo 4

Aplicando a regra da cadeia, obtemos
dydx = dydu cdot dudv cdot dvdx = e^u cdot (-sin(v)) cdot cos(x)
Substituímos u = cos(sin(x)) e v = sin(x) para voltar à variável x:
dydx = e^cos(sin(x)) cdot (-sin(sin(x))) cdot cos(x)

Passo 5

Agrupando o sinal negativo, ficamos com o resultado final simplificado.

Resposta

-e^cos(sin(x)),sin(sin(x)),cos(x)

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