Calcule
\int_{2}^{1} \frac{\ln ^{2} x}{3 x} d x

Passo 1

A gente precisa calcular a integral definida integral2^1 ln^2 x3x,dx. Esse tipo de integral envolve função logarítmica e exige uso de propriedades de constantes em integrais e de substituição t=ln x.

Passo 2

Como tfrac13 é constante, tiramos esse fator para fora da integral. Assim,
integral2^1 ln^2 x3x,dx = 13integral2^1 ln^2 xx,dx

Passo 3

Agora fazemos a substituição t=ln x, então dt=tfracdxx. Quando x=2, t=ln2; quando x=1, t=0. A integral vira
integral2^1 ln^2 xx,dx = integralln2^0 t^2,dt = -integral0^ln2 t^2,dt

Passo 4

Sabendo que integral t^2,dt=tfract^33, aplicamos de 0 a ln2:
integral0^ln2 t^2,dt = l[tfract^33r]0^ln2 = (ln2)^33
Logo,
integralln2^0 t^2,dt = -(ln2)^33

Passo 5

Para voltar à integral original, multiplicamos esse resultado pelo tfrac13 que tiramos lá no começo:
13cdotl(-(ln2)^33r)
Daí basta simplificar para chegar na forma final.

Resposta

-\frac{(\ln2)^3}{9}

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