Mostre que log (-1)=(2 k+1) pi imath e log imath=4 k+12 pi imath.
19. Mostre que, sendo theta0, onde operatorname a r c t a n (y / x) é uma das determinações de x=0. Se y neq 0, então theta0 e pm pi / 2 pode ser tomado igual a y>0, conforme seja y<0 ou , respectivamente.

Passo 1

Estamos com um exercício de logaritmo complexo, que pede para mostrar que log(-1)=(2k+1)pi i, log i=tfrac4k+12pi i e, de modo geral, para z=x+iy não nulo, a expressão multi-valorada de log z.

Passo 2

Em teoria de números complexos, definimos para zneq0 o logaritmo como

onde reúne todas as determinações ( log z=ln|z|+iArg(z),) e Arg(z)=theta0+2kpi é o argumento principal de kin Z.

Passo 3

Para z=-1, temos |-1|=1 e argumento principal theta0=pi (pois no plano complexo -1 fica a pi radianos em relação ao eixo real positivo). Logo

Então
Arg(-1)=pi+2kpi=(2k+1)pi

Passo 4

Para z=i, temos |i|=1 e argumento principal theta0=tfracpi2 (i fica a 90° no plano). Assim

e então
Arg(i)=tfracpi2+2kpi=tfrac4k+12pi,

Passo 5

Agora, para z=x+iy com xneq0 (e portanto zneq0), calculamos
|z|=raizx^2+y^2 e
ln|z|=tfrac12ln(x^2+y^2).
O argumento principal theta0 é uma determinação de arctan(y/x), e as demais forças vêm do termo +2kpi. Então
log(x+iy)=tfrac12ln(x^2+y^2)+il(theta0+2kpir)

Passo 6

Finalmente, se x=0 e yneq0, o ponto está no eixo imaginário e escolhemos theta0=tfracpi2 quando y>0 ou theta0=-tfracpi2 quando y<0, completando assim todas as determinações.

Resposta

log(-1)=(2k+1)pi i,log i=tfrac4k+12pi i,log(x+iy)=tfrac12ln(x^2+y^2)+il(theta0+2kpir).

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