Mostre que
e
.
19. Mostre que, sendo
, onde
é uma das determinações de
. Se
, então
e
pode ser tomado igual a
, conforme seja
ou
, respectivamente.
19. Mostre que, sendo
Passo 1
Estamos com um exercício de logaritmo complexo, que pede para mostrar que
,
e, de modo geral, para
não nulo, a expressão multi-valorada de
.
Passo 2
Em teoria de números complexos, definimos para
o logaritmo como
onde reúne todas as determinações (
Passo 3
Para
, temos
e argumento principal
(pois no plano complexo -1 fica a
radianos em relação ao eixo real positivo). Logo
Então
Passo 4
Para
, temos
e argumento principal
(i fica a 90° no plano). Assim
e então
Passo 5
Agora, para
com
(e portanto
), calculamos
e
.
O argumento principal é uma determinação de
, e as demais forças vêm do termo
. Então
O argumento principal
Passo 6
Finalmente, se
e
, o ponto está no eixo imaginário e escolhemos
quando
ou
quando
, completando assim todas as determinações.