Demonstre que
, no sentido de igualdade de conjunto.
Passo 1
O enunciado pede para mostrar, usando a definição de logaritmo complexo multivalorado, que o conjunto
coincide com o conjunto
. Vamos usar teoria de números complexos e propriedades do logaritmo multivalorado.
Passo 2
Por definição, para um
, o logaritmo multivalorado é
$$
\log z={\ln|z|+i\bigl(\Arg(z)+2\pi k\bigr)\colon k\in\mathbb{Z}}\n
\log z_1={\ln|z_1|+i(\Arg(z_1)+2\pi k_1)}\quade\quad
\log z_2={\ln|z_2|+i(\Arg(z_2)+2\pi k_2)}
\log z_2={\ln|z_2|+i(\Arg(z_2)+2\pi k_2)}
$$
Passo 3
Agora consideramos o conjunto-diferença
Tomando
e
,
temos
e
,
temos
Passo 4
Note que
e, se definirmos
, os inteiros
percorrem todo
. Além disso,
até um múltiplo de
, o que já está contabilizado no termo
.
Passo 5
Portanto
Isso mostra a igualdade de conjuntos desejada.