Demonstre que log z1z2=log z1-log z2, no sentido de igualdade de conjunto.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar, usando a definição de logaritmo complexo multivalorado, que o conjunto logz1z2 coincide com o conjunto log z1 - log z2. Vamos usar teoria de números complexos e propriedades do logaritmo multivalorado.

Passo 2

Por definição, para um zne0, o logaritmo multivalorado é
$$
\log z={\ln|z|+i\bigl(\Arg(z)+2\pi k\bigr)\colon k\in\mathbb{Z}}\n log z=ln|z|+il(Arg(z)+2pi kr)colon kinZn
\log z_1={\ln|z_1|+i(\Arg(z_1)+2\pi k_1)}\quade\quad
\log z_2={\ln|z_2|+i(\Arg(z_2)+2\pi k_2)}
$$

Passo 3

Agora consideramos o conjunto-diferença
log z1-log z2=w1-w2colon w1inlog z1,;w2inlog z2
Tomando
e
,
temos

Passo 4

Note que w1-w2=l(ln|z1|-ln|z2|r)+il((Arg(z1)-Arg(z2))+2pi(k1-k2)r) e, se definirmos ln|z1|-ln|z2|=lntfrac|z1||z2|, os inteiros k=k1-k2 percorrem todo k. Além disso,
até um múltiplo de Z, o que já está contabilizado no termo Arg(z1)-Arg(z2)=Argl(z1z2r) .

Passo 5

Portanto
Isso mostra a igualdade de conjuntos desejada.

Resposta

logtfracz1z2=log z1-log z2, entendidos como conjuntos multivalorados.

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